周周回馈练(一)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f′＝()A.B．－C．0D.答案A解析∵f′(x)＝cosx＋sinx，∴f′＝cos＋sin＝.2．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则()A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大答案B解析由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故A机关比B机关节能效果好．3．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系式可近似地表示为y＝，则在时刻t＝10min的降雨强度为()A.mm/minB.mm/minC.mm/minD．1mm/min答案A解析由题意及导数定义可知t＝10min时的降雨强度即是t＝10时的导数值，又y′＝′＝，则y′t＝10＝＝.4．函数f(x)＝xsinx的导函数f′(x)在[－π，π]上的图象大致为()1答案C解析∵f(x)＝xsinx，∴f′(x)＝sinx＋xcosx，∴f′(－x)＝－sinx－xcosx＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，由此可排除A，B，D，故选C.5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析y′＝＝≥－1，即－1≤tanα<0，所以≤α<π.6．若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则实数a＝()A．－2B.C．1D．2答案C解析曲线y＝x2的导数为，在P(s，t)处的斜率k1＝.曲线y＝alnx的导数为，在P(s，t)处的斜率k2＝.由曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得k1＝k2，即＝，并且t＝s2，t＝alns，即解得a＝1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim＝______.2答案－2解析由导数的概念和几何意义，知lim＝f′(1)＝kAB＝＝－2.8．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．答案2－1解析y′＝－，则y′|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.9．已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2021＝__________.答案1解析∵f1′(x)＝cosx－sinx，∴f2(x)＝cosx－sinx，f2′(x)＝－sinx－cosx.∴f3(x)＝－sinx－cosx，f3′(x)＝－cosx＋sinx.∴f4(x)＝－cosx＋sinx，f4′(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝sinx＋cosx.∴f5(x)＝f1(x)．不难得出fn(x)＝fn＋4(x)，∴f1＋f2＋…＋f2021＝f1＋f2＋…＋f2019＋f2020＋f2021＝505＋f2021＝505sin＋cos＋cos－sin－sin－cos－cos＋sin＋f1＝sin＋cos＝1.三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(1)求曲线y＝ex在x＝2处的切线方程；(2)过原点作曲线y＝ex的切线，求切线方程．解(1)y＝ex在x＝2处的切线的斜率即y′x＝2＝exx＝2＝e2，故所求切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.(2)设切点坐标为(x0，ex0)，在该点处的切线的斜率为y′x＝x0＝ex0，故切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，当切线过原点时，有0－ex0＝ex0(0－x0)，解得x0＝1，因此所求切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.11．如图，已知曲线f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线g(x)＝(x≥0)相切于点P，且在点P处有相同的切线l.求点P的坐标及a的值．3解设切点P(x0，y0)．由直线l与曲线f(x)相切于点P，得切线l的斜率为f′(x0)＝4x0.由直线l与曲线g(x)相切于点P，得切线l的斜率为g′(x0)＝.由f′(x0)＝g′(x0)，得4x0＝，解得x0＝，∴y0＝＝，即点P的坐标为.由点P在曲线f(x)上，得2×2＋a＝，解得a＝.12．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取值范围为∪.45
