曲线与方程(25分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·沧州模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线【解析】选D.由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线.2.方程(x2-y2-1)=0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)()【解析】选B.原方程等价于或x-y-1=0,前者表示等轴双曲线x2-y2=1位于直线x-y-1=0下方的部分(含交点),后者为直线x-y-1=0,这两部分合起来即为所求.【加固训练】方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是()【解析】选C.由题意可得x+y+1=0或它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0右上方(含交点)的部分.3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y【解析】选C.点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,说明点P(x,y)到点F(0,2)和到直线y+2=0的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线,设抛物线方程为x2=2py(p>0),其中p=4,故所求的轨迹方程为x2=8y.4.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0),距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.+=1D.x2=16y【解题提示】可依据“好曲线”的定义,逐个验证即可得出结论.【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A项,直线x+y=5过点(5,0),满足题意,为“好曲线”;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),满足题意,为“好曲线”;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以Δ>0,满足题意,为“好曲线”.5.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为()A.x2-=1(x>1)B.x2-=1(x<-1)C.x2+=1(x>0)D.x2-=1(x>1)【解析】选A.设另两个切点为E,F,如图所示,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支.a=1,c=3,所以b2=8.故方程为x2-=1(x>1).【加固训练】1.(2016·洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是()A.x2+3y2=1(x>0,y>0)B.x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-y2=1(x>0,y>0)D.3x2+y2=1(x>0,y>0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0.点Q(-x,y),故由·=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0).2.(2016·保定模拟)在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系x′O′y′上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线A-B-C运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是()【解析】选D.当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),所以y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示.二、填空题(每小题5分,共15分)6.长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴,y轴上滑动,则AB中点的轨迹方程为.【解析】设A(m,0),B(0,n),则|AB|2=m2+n2=4a2,再设线段AB中点P的坐标为(x,y),则x=,y=,即m=2x,n=2y,所以4x2+4y2=4a2,即AB中点的轨迹方程为x2+y2=a2.答案:x2+y2=a2【加固训练】直线+=1与x,y轴交点的中点的轨迹方程是.【解析】直线+=1与x,y轴的交点为A(a,0),B(0,2-a),设AB的中点为M(x,y),则x=,y=1-,消去a,得x+y=1.因为a≠0且a≠2,所以x≠0且x≠1.答案:x+y=1(x≠0且x≠1)7.如图,已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且·=·.则动点P的轨迹C的方程为.【解析】设点P(x,y),则Q(-1,y),由·=·,得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:y2=4x.答案:y2=4x【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:由·=·,得·(+)=0,所以(-)·(+)=0,-=0.所以,||=||.所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方...
