高考数学 玩转压轴题 专题2.12 已知函数增或减导数符号不改变-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题2.12已知函数增或减导数符号不改变【题型综述】用导数研究函数的单调性（1）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求，得函数的单调递增（减）区间．一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（2）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥。常用思想方法：函数在某区间上单调递增，说明导数大于或等于零恒成立．，而函数在某区间上单调递减，说明导数小于或等于零恒成立．【典例指引】例1．已知函数，．⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围．【思路引导】（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；若函数在区间上单调递增，则在恒成立，，得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，，得，综上，实数的取值范围为例2．已知函数．（x＞0）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．【思路引导】（1）函数求导，令得函数增区间，令得函数的减区间；（2）函数为上单调增函数，只需在上恒成立即可．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．例3．已知函数．（1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求实数的值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的范围【思路引导】（1）根据切线的倾斜角为得到切线的斜率，根据导数的几何意义可以知道处的导数即为切线的斜率，建立等量关系，求出a即可;（2）根据函数在区间上单调递增，可转化成，对恒成立，将参数a分离，转化成当时，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右边函数的最小值，进而得实数a的范围【同步训练】1．已知函数．（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果．（2），则．设，①当时，，当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；②当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为．当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；③当时，由可得在内恒成立，故只需或，即或，解之得．综上可知，实数的取值范围是．2．已知函数．（1）若在上递增，求的取值范围；（2）证明：．【思路引导】（1）要使在上递增，只需，且不恒等于0，所以先求得函数的增区间，是增区间的子区间．（2）当时，，显然成立．当时，即证明，令（），即求，由导数可证．∴，即．综上，．3．已知函数．（1）若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，求的表达式；（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．【思路引导】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；（2）求出函数的导数，问题转化为，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．4．设函数．（1）若时，取得极值，求的值；（2）若在其定义域内为增函数，求的取值范围．【思路引导】（1）先求函数的导函数，根据若时，取得...