高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积真题演练集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积真题演练集训理新人教A版1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.2．[2016·北京卷]设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0.|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.3．[2015·重庆卷]若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π答案：A解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5答案：A解析：由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.5．[2016·天津卷]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为()A．－B.C.D.答案：B1解析：如图，设AC＝m，AB＝n.根据已知得，DF＝m，所以AF＝AD＋DF＝m＋n，BC＝m－n，AF·BC＝·(m－n)＝m2－n2－m·n＝－－＝.6.[2016·浙江卷]已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．答案：解析：由题意，令e＝(1,0)，a＝(cosα，sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，则由|a·e|＋|b·e|≤，可得|cosα|＋2|cosβ|≤.①令sinα＋2sinβ＝m.②①2＋②2，得4[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤1.故a·b＝2(cosαcosβ＋sinαsinβ)≤2[|cosαcosβ|＋sinαsinβ]≤.课外拓展阅读以向量为背景的创新题[典例1](1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝，若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a·b和b·a都在集合中，则a·b等于()A.B.C．1D.[答案]D[审题视角]先根据定义表示a·b和b·a，利用其属于集合，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cosθ，然后利用θ∈确定cosθ的取值范围，结合集合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a·b的值．[解析]根据新定义，得a·b＝＝＝cosθ，b·a＝＝＝cosθ.又因为a·b和b·a都在集合中，设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝，又θ∈，故cos2θ∈，所以0