考点21等比数列及其前n项和一、选择题1.(2016·天津高考理科·T5)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+<0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用等比数列的定义将a2n-1+a2n<0转化为a1q2n-2(1+q)<0,得出q的范围,然后比较前后两个q的取值范围即可.【解析】选C.设数列的首项为a1,则a2n-1+a2n=a1q2n-2+a1q2n-1=a1q2n-2(1+q)<0,即q<-1,故q<0是q<-1的必要不充分条件.二、填空题2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T15)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.【解析】由于{an}是等比数列,设an=a1,其中a1是首项,q是公比.所以⇔解得:故an=,所以a1·a2·…·an===.当n=3或4时,取到最小值-6,此时取到最大值26.所以a1·a2·…·an的最大值为64.答案:64三、解答题3.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T17)(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式.(2)若S5=,求λ.【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=,由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,所以,因此数列是以a1=为首项,以为公比的等比数列,an=.(2)由(1)得Sn=1-,又因为S5=,所以=1-,即=,解得λ=-1.4.(2016·四川高考理科·T19)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式.(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.【解题指南】(1)在Sn+1=qSn+1中,用n-1代替n,将两式相减判断出数列{an}为等比数列,再结合等差中项求出公比,从而求出{an}的通项公式.(2)先求出数列的通项公式,从而求出数列{en}的通项公式,进而证明不等式.【解析】(1)由题Sn+1=qSn+1①可知当n≥2时,Sn=qSn-1+1②,两式相减可得an+1=qan,即{an}从第二项开始为公比是q的等比数列,当n=1时,代入可得a1+a2=qa1+1,所以a2=q,即{an}为公比是q的等比数列.根据2a2,a3,a2+2成等差数列,由等差数列性质可得2a2+a2+2=3a2+2=2a3,即2q2-3q-2=0,求解可得q=2或q=-,由题q>0可知,q=2,所以an=2n-1,n∈N*.(2)证明:由双曲线的性质可知,en=,由(1)可得,{an}是首项为1,公比为q的等比数列,故e2=,即q=,所以{an}为首项为1,公比为的等比数列,通项公式为an=(n∈N*),所以en=,e1+e2+…+en>1+,原式得证.5.(2016·四川高考文科·T19)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式.(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求.【解题指南】(1)利用an=Sn-Sn-1,两式相减,得出数列为等比数列,利用数列的通项公式得出结论.(2)先利用双曲线的离心率得到en的表达式,再解出q的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.【解析】(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3,所以a3=2a2,,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-=1的离心率en=.由e2==2解得q=.所以,==6.(2016·江苏高考T20)(本题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=,⌀定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST=,例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66,现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.(1)求数列{an}的通项公式.(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T{1,2,…,k},⊆求证:ST
2SB.综上所述,SA≥2SB,因此SC+SC∩D≥2SD.
