高考大题规范练(四)立体几何1．(2014·陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H。(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值。解(1)证明：由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH。∴FG∥EH。同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG。∴四边形EFGH是平行四边形。又 AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC。∴AD⊥BC。∴EF⊥FG。∴四边形EFGH是矩形。(2)解法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，DA＝(0,0,1)，BC＝(－2,2,0)，BA＝(－2,0,1)。设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， EF∥AD，FG∥BC，∴得取n＝(1,1,0)。∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝＝＝。解法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)， E是AB的中点，∴F，G分别是BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)。∴FE＝，FG＝(－1,1,0)，BA＝(－2,0,1)。设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，则得取n＝(1,1,0)。∴sinθ＝|cos〈BA，n〉|＝＝＝。12.(2015·湖南卷)如图，已知四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形。A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD。点P，Q分别在棱DD1，BC上。(1)若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；(2)若PQ∥平面ABB1A1，二面角P－QD－A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积。解解法一：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6。(1)证明：若P是DD1的中点，则P，PQ＝6，m－，－3。又AB1＝(3,0,6)，于是AB1·PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ。(2)由题设知，DQ＝(6，m－6,0)，DD1＝(0，－3,6)是平面PQD内的两个不共线向量。设n1＝(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则即取y＝6，得n1＝(6－m,6,3)。又平面ADQ的一个法向量是n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝。而二面角P－QD－A的余弦值为，因此＝，解得m＝4，或m＝8(舍去)，此时Q(6,4,0)。设DP＝λDD1(0<λ≤1)，而DD1＝(0，－3,6)，由此得点P(0，6－3λ，6λ)，所以PQ＝(6,3λ－2，－6λ)。因为PQ∥平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3＝(0,1,0)，所以PQ·n3＝0，即3λ－2＝0，得λ＝，从而P(0,4,4)。于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P－ADQ，则其高h＝4。故四面体ADPQ的体积V＝S△ADQ·h＝××6×6×4＝24。解法二：(1)证明：如图，取A1A的中点R，连接PR，BR。2因为A1A，D1D是梯形A1ADD1的两腰，P是D1D的中点，所以PR∥AD，于是由AD∥BC知PR∥BC，所以P，R，B，C四点共面。由题设知，BC⊥AB，BC⊥A1A，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，又AB平面ABB1A1，因此BC⊥AB1。①因为tan∠ABR＝＝＝＝tan∠A1AB1，所以∠ABR＝∠A1AB1，因此∠ABR＋∠BAB1＝∠A1AB1＋∠BAB1＝90°，于是AB1⊥BR。又由①及BC∩BR＝B，所以AB1⊥平面PRBC。又PQ平面PRBC，故AB1⊥PQ。(2)如图，过点P作PM∥A1A交AD于点M，则PM∥平面ABB1A1。②因为A1A⊥平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD。过点M作MN⊥QD于点N，连接PN，则PN⊥QD，∠PNM为二面角P－QD－A的平面角，所以cos∠PNM＝，即＝，从而＝。③连接MQ，由PQ∥平面ABB1A1及②知，平面PQM∥平面ABB1A1，所以MQ∥AB。又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ＝AB＝6。设MD＝t，则MN＝＝。④过点D1作D1E∥A1A交AD于点E，则AA1D1E为矩形，所以D1E＝A1A＝6，AE＝A1D1＝3，因此ED＝AD－AE＝3。于是＝＝＝2，所以PM＝2MD＝2t。再由③，④得＝，解得t＝2，因此PM＝4。故四面体ADPQ的体积V＝S△ADQ·PM＝××6×6×4＝24。3．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N。3(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)...
