§4.6简单的三角恒等变换1．公式的常见变形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．(2)sin2α＝，cos2α＝，sinαcosα＝sin2α.(3)1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1＋sinα＝(sin＋cos)2，1－sinα＝(sin－cos)2.2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(2)设α∈(π，2π)，则＝sin.(×)(3)在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．(√)(4)设<θ<3π，且|cosθ|＝，那么sin的值为.(×)(5)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)(6)函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx在区间[－，]上的最大值为.(√)1．化简：＝.答案sinα解析原式＝＝＝sinα.2．已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos＝.答案－解析 ∈(，π)，∴cos＝－＝－＝－.3．如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝.答案－解析由已知cosα＝－，∴sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋＋)＝cosα＝－.4．(2014·上海)函数y＝1－2cos22x的最小正周期是．答案解析由题意y＝－cos4x，T＝＝.题型一三角函数式的化简求值例1(1)已知0<θ<π，化简：＝.(2)已知sinα＝＋cosα，且α∈(0，)，则的值为．答案(1)－cosθ(2)－解析(1)原式＝＝cos·＝.因为0<θ<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝－cosθ.(2)方法一 sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝，∴sin(α－)＝，∴sin(α－)＝.又 α∈(0，)，∴α－∈(－，)，∴cos(α－)＝，∴cos2α＝－sin[2(α－)]＝－2sin(α－)cos(α－)＝－2××＝－，∴＝＝－.方法二 sinα＝＋cosα，∴sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝， α∈(0，)，∴sinα＋cosα＝＝＝，∴＝＝－(sinα＋cosα)＝－.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)若＝，则tan2α＝.(2)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为．答案(1)－(2)解析(1)＝＝＝，∴tanα＝2，∴tan2α＝＝＝－.(2) α为锐角，cos(α＋)＝，∴sin(α＋)＝，∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，cos(2α＋)＝2cos2(α＋)－1＝，∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－)＝[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝.题型二三角函数的求角问题例2(1)已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.(2)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，若α∈(0，)且f()＝2cos2α，则α＝.答案(1)(2)解析(1)由sinα＝，cosβ＝且α，β为锐角，可知cosα＝，sinβ＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，又0<α＋β<π，故α＋β＝.(2)由f()＝2cos2α，得tan(α＋)＝2cos2α，＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)． α∈(0，)，∴sinα＋cosα≠0.∴(cosα－sinα)2＝，即sin2α＝.由α∈(0，)，得2α∈(0，)，∴2α＝，即α＝.思维升华(1)由三角函数值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．(1)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝.(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C＝.答案(1)(2)解析(1) α、β均为锐角，∴－<α－β<.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sinα＝，∴cosα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×(－)＝.∴β＝.(2)由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－，又0
