高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第二节 平面与圆柱面的截线课后导练 新人教A版选修4-1高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第二节 平面与圆柱面的截线课后导练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

第二节平面与圆柱面的截线课后导练基础达标1.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为23,则平面β与圆柱母线的夹角是()A.30°B.60°C.45°D.90°解析:设β与母线夹角为φ,则cosφ=23,∴φ=30°.答案:A2.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()A.51B.43C.33D.21解析:由a=2c,得ac=21,即e=21.答案:D3.两圆柱底面半径分别为R、r(R＞r),平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜90°),斜截口椭圆的离心率分别为e1、e2,则()A.e1＞e2B.e1＜e2C.e1=e2D.无法确定解析:∵e1=cosα,e2=cosβ,又∵α＜β＜90°时,cosα＞cosβ,∴e1＞e2.答案:A4.已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱斜截口的离心率为21,则椭圆的长半轴是()A.2B.4C.316D.34解析:由题意知短半轴b=2,ac=aba22=21,∴aa42=21,解得a=34.答案:D5.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有()A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的准线D.相同的离心率解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Danlin球不同,焦点不同,准线也不同.平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.答案:D综合运用6.如图3-2-5,已知∠PF1F2=30°,21FPFS=23,OP⊥F1F2,求⊙O1的半径.1图3-2-5解析:设椭圆的长半轴为a,短半轴为b,焦距为c.根据题意得,,2321,30sin222cbabcab解得,3,1,2cba即OP=1,∴⊙O1的半径为1.7.如图3-2-5,过F1作F1Q⊥G1G2,△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.22B.212C.2-2D.2-1解析:∵△QF1F2是等腰直角三角形,∴QF1=F1F2=2c,QF2=22c.由椭圆的定义得QF1+QF2=2a,∴e=12211222222cccac.答案:D8.如图3-2-6,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,求PQ.图3-2-6解析:设椭圆长轴为2a,短轴为2b,焦距为2c.由已知可得a=10,b=6,c=22ba=8,e=ac=54.由椭圆定义PF1+PF2=K1K2=G1G2=20.又∵PF1∶PF2=1∶3,2∴PF1=5,PF2=15.由离心率定义,∴PQPF1=54.∴PQ=425.9.如图3-2-7,已知设两焦点的距离F1F2=2c,两端点G1G2=2a,求证:l1与l2之间的距离为ca22.图3-2-7证明:设椭圆上任意一点P,过P作PQ1⊥l1于Q1,过P作PQ2⊥l2于Q2.∵e=2211PQPFPQPFac,∴PF1=acPQ1,PF2=acPQ2.由椭圆定义PF1+PF2=2a,∴acPQ1+acPQ2=2a.∴PQ1+PQ2=ca22,即l1与l2之间的距离为ca22.拓展探究10.如图3-2-8,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,P、Q在椭圆上,有PD⊥l于D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①PDPF;②BFQF;③BOAO;④ABAF;⑤AOFO.其中正确的序号是_______________.3图3-2-8解析:①PDPF符合离心率定义.②过Q作QC⊥l于C,∵QC=FB,∴BFQF=QCQF符合离心率定义.③∵AO=a,BO=ca2,∴BOAO=caa2=ac.故BOAO也是离心率.④∵AF=a-c,AB=ca2-a,∴ABAF=acaca2=ac.∴ABAF是离心率.⑤∵FO=c,AO=a,∴AOFO=ac是离心率.答案:①②③④⑤备选习题11.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为_____________.解析:由(2b)2=2c·2a,得b2=ac.又b2=a2-c2,∴a2-c2=ac.∴a2-c2-ac=0.两边同除ac,∴ca-ac-1=0.∴e1-e-1=0.∴e2+e-1=0.∴e=215或215(舍去).答案:21512.椭圆一轴长为2,离心率为21,则另一轴长为_________________.解析:设另一轴长为m,4若m＜2,则a2=4,b2=m2,c2=4-m2,e2=4144222mac,∴m=3.若m＞2,同理,e2=224mm=41,解得m=34.答案:3或3413.已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线夹角为30°,在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是3b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是_____________.解析:由题意知,椭圆短轴为2b,长轴长2a=30sin2b=4b,∴c=bbb3422.∴e=2323bb或e=cos30°=23.设P到F1的距离为d,则bd3=23,∴d=23b.又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b-PF1=4b-23b=25b.答案:25b14.如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两准线间的距离是焦距的()A.9倍B.4倍C.12倍D.18倍解析:由已知,得32a=2c,即a=3c.∴两准线间的距离为ca22=cc218=18c.答案:A515.已知椭圆两准线间的距离为8,离心率为21,则Dandlin球的半径是____________.解析:由题意知,21,42acca解得,1,2ca∴b=322cb.∴Dandlin球的半径为3.6