3.4直线与平面的垂直关系[A基础达标]1．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则(x，y，z)等于()A．(，－，4)B．(，－，4)C．(，－2，4)D．(4，，－15)解析：选B.AB·BC＝3＋5－2z＝0，故z＝4，BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，且BP·BC＝3(x－1)＋y－12＝0，得x＝，y＝－.2．若直线l的方向向量为a＝(1，1，1)，向量b＝(1，－1，0)和向量c＝(0，1，－1)所在的直线都与平面α平行，则()A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．以上都不对解析：选A.因为(1，1，1)·(1，－1，0)＝0，(1，1，1)·(0，1，－1)＝0，所以a⊥b，a⊥c，又b与c不平行且b、c所在的直线都与平面α平行，所以l⊥α.3．若平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析：选C.若β内存在直线与m平行，则必有β⊥α，但α与β不一定垂直，故否定A、D；在β内必存在与m在β内的射影垂直的直线，由三垂线定理可知此直线必与m垂直，否定B，故选C.4．如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：选D.以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)．BD＝(－1，－1，0)，AC1＝(－1，1，1)，CD1＝(0，－1，1)，B1D1＝(－1，－1，0)，CB1＝(1，0，1)．对于选项A，由B1D1＝BD知结论正确；对于选项B，由AC1·BD＝(－1，1，1)·(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由AC1·B1C＝(－1，1，1)·(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈AD，B1C〉＝＝，知结论不正确．(其中〈AD，B1C〉是AD与B1C所成的角)5．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，BP⊥α，C是α内异于点B的动点，1且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点解析：选B.由图可知BC为PC在底面α上的射影，由三垂线定理可知BC⊥AC.所以点C的轨迹是以AB为直径的圆，但C与A、B不重合，所以C在平面α内的轨迹是一个圆，但要去掉两个点．6．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于______．解析：因为C1B1⊥平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1，所以MN⊥平面C1MB1，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.答案：90°7.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的点E有两个时，a的取值范围是________．解析：PE⊥DE，根据三垂线定理，则DE垂直于PE在平面ABCD上的射影AE.所以在矩形ABCD中，∠AED＝90°，满足条件的点E有两个，故以AD为直径的圆与BC相割．所以圆心到直线的距离d6.答案：a>68.如图所示，VC是△ABC所在平面的斜线，V在平面ABC上的射影为N，N在△ABC的高CD上，M是VC上的一点，∠DMC＝∠VNC，求证：VC⊥平面ABM.证明：因为VN⊥平面ABC，CD⊥AB，且N在CD上，所以由三垂线定理知，AB⊥VC，又因为VN⊥平面ABC，所以VN⊥DC.因为∠DMC＝∠VNC＝90°，即VC⊥DM.又因为AB∩DM＝D，所以VC⊥平面ABM.9.如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N，连接MN.求证：(1)BC⊥平面PAC；(2)PB⊥平面AMN.证明：(1)因为PA⊥平面ABC，2BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.在Rt△ABC中，AB为斜边，所以BC⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)因为BC⊥平面PAC，AN⊂平面PAC，所以BC⊥AN.又AN⊥PC，BC∩PC＝C，所以AN⊥平面PBC.所以AN⊥PB.又因为PB⊥AM，AM∩AN＝A，所以PB⊥平面AMN.[B能力提升]10.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1...
