第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法[A级基础巩固]一、选择题1．已知A，B为△ABC的内角，则A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由正弦定理＝，又A，B为三角形的内角，所以sinA>0，sinB>0，所以sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.答案：C2．设0
x＝a，所以a0，b>0且ab－(a＋b)≥1，则()A．a＋b≥2(＋1)B．a＋b≤＋1C．a＋b≤(＋1)2D．a＋b>2(＋1)解析：由条件知a＋b≤ab－1≤－1，令a＋b＝t，则t>0，且t≤－1，解得t≥2＋2.答案：A二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－xlnx在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xlnx求导，得f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．答案：综合法7．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证__________________，即证____________，由于____________显然成立，因此原不等式成立．答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥08．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．解析：根据条件可知，欲求＋＋的最小值．只需求(a＋b＋c)的最小值，因为(a＋b＋c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．答案：9三、解答题9．(1)用综合法证明：若a>0，b>0，求证：(a＋b)·≥4；(2)用分析法证明：已知a>0，求证：－≥a＋－2.证明：(1)因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，＋≥2，所以(a＋b)≥2·2＝4.当且仅当a＝b，＝时，等号成立，所以(a＋b)(＋)≥4.(2)要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.因为a>0，只需证≥，即a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋4，只需证2≥，只需证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．10.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AF⊥SC.2证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC，而AE⊥SB，故只需证AE⊥平面SBC，只需证AE⊥BC，而AB⊥BC，故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA.由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立，所以AF⊥SC成立．B级能力提升1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内解析：因为a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由零点存在性定理知，选项A正确．答案：A2．分析法又称执果索因法，在证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.答案：(a－c)(a－b)>03．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.证明：要证＋＝，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，即c2＋a2＝ac＋b2，所以原式得证．3
