第14课时等比数列的性质知识点一等比数列的性质运用1．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于()A．B．C．或D．－或－答案C解析在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6，①又a4＋a14＝5，②由①，②组成方程组得或∴＝＝或．故选C．2．一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．10项B．11项C．12项D．13项答案C解析设该等比数列为{an}，由已知a1a2a3＝2，an－2an－1an＝4及等比数列的性质，得(a1an)3＝8，所以a1an＝2．又因为a1a2a3…an＝64＝26＝(a1an)6，所以该数列有12项．故选C．3．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()A．27B．27或－27C．81D．81或－81答案B解析 q2＝＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27．故选B．4．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于()A．－64B．－32C．32D．64答案C解析 数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，∴a5＝a1××××＝1×(－)×(－)2×(－)3×(－)4＝(－)10＝32．知识点二等比数列的综合问题5．已知{an}为各项都是正数的等比数列，若a4a8＝4，则a5a6a7＝()A．4B．8C．16D．64答案B解析由题意得a4a8＝a＝4，又因为数列{an}为正项等比数列，所以a6＝2，则a5a6a7＝a＝8，故选B．6．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；1(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1．经验证，n＝1时，上式也成立，∴an＝2kn－k＋1．(2) am，a2m，a4m成等比数列，∴a＝am·a4m．即(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，整理，得mk(k－1)＝0． 对任意的m∈N*成立，∴k＝0或k＝1．7．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．(1)试用an表示an＋1；(2)求证：数列an－是等比数列；(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．解(1)根据根与系数的关系，有代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3，所以an＋1＝an＋．(2)证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝an－．所以数列an－是以为公比的等比数列．(3)当a1＝时，a1－＝，故数列an－是首项为，公比为的等比数列，所以an＝＋n(n＝1，2，3，…)．知识点三等差数列与等比数列的综合运用8．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2．∴b－a＝c－b．解法二： 2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b．∴选A．9．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________．答案－62解析由题意，知a3＝a1＋4，a4＝a1＋6． a1，a3，a4成等比数列，∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，解得a1＝－8，∴a2＝－6．易错点一忽略等比数列中的任何一项都不为零10．设等比数列{an}的公比为q，k∈N*，bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank(n＝1，2，…)，试判断数列{bn}是否是等比数列？如果是，求出其公比；如果不是，请说明理由．易错分析本题易忽略q＝－1且k为偶数时bn＝0的情况而错判{bn}是等比数列．解由bn＝a1q(n－1)k(1＋q＋…＋qk－1)，得bn＋1＝a1qnk(1＋q＋…＋qk－1)．①当1＋q＋…＋qk－1＝0，即当q＝－1且k为偶数时，bn＝0，此时，数列{bn}不是等比数列．②当1＋q＋…＋qk－1≠0时，＝＝qk(qk为常数)，此时，数列{bn}是首项为b1＝a1，公比为qk的等比数列．易错点二对等比数列中项的符号变化规律弄不清导致错误11．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________．易错分析本题极易由b＝(－4)×(－1)＝4，求得b2＝±2而致错．对于等比数列{an}，若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．如本题中，无论公比是正数还是负数，b2与－4一定同号．解解法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7...
