3.3.2函数的极值与导数课时跟踪检测一、选择题1．下列函数存在极值的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x－exC．f(x)＝x3＋x2＋2x－3D．f(x)＝x3解析：若函数f(x)存在极值，则f′(x)＝0有解．对于f(x)＝x－ex，则f′(x)＝1－ex＝0，x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，所以x＝0是f(x)＝x－ex的极值点．故选B.答案：B2．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a<－D．a>－解析： y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝0，得ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又x>0，∴ln(－a)>0，∴－a>1，∴a<－1.故选A.答案：A3．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析： f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1.易知当x<－1时，f′(x)<0；当x>－1时，f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点．故选D.答案：D4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝()A．4或－3B．4或－11C．4D．－3解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得解得或当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)．∴当x＝1时，f(x)有极值，当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，∴当x＝1时，f(x)无极值，舍去，故选C.答案：C5．(2019·邯郸月考)已知函数f(x)＝ax3－ax2－x的两个极值点分别为x1，x2(x1≠x2)，且A，B，则直线AB必过点()A．(1,0)B．(2,1)C.D．(0，－2)解析： f′(x)＝ax2－ax－1，又f′(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2，∴1由题意得直线AB的斜率kAB＝＝－＝a，∴直线AB的方程为y－＝a(x－x1)，即y＝ax＋＋＝ax＋＝ax－a＝a(x－1)，∴直线AB必过点(1,0)，故选A.答案：A6．已知函数f(x)＝，若方程f(x)－a＝0恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．0
解析： f(x)＝(x>0)，∴f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，则lnx＝，∴x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x＝e时，f(x)最大，为，∴f(x)的大致图象如图：要使方程f(x)－a＝0恰有两个不同的实数根，即函数y＝a与函数y＝f(x)有两个不同的交点，∴0－，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<－时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故x＝－时，f(x)取得极小值，即x0＝－.答案：－8．(2019·遂宁月考)函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)，若f(x)在x＝2处取得极值，则a的值为________．解析： f′(x)＝x－，又 f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝0，即2－＝0，∴a＝4.答案：49．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为____________．解析：由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)．令y′＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′<0；当x>－1时，y′>0，∴x＝－1是函数的极小值点，且极小值为－.又 k＝y′x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－.答案：y＝－三、解答题210．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1) f(x)＝＋－lnx－(x>0)，∴f′(x)＝－－.由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－a－1＝－2，∴a＝.(2)由(1)知，f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5，无极大值．11．(2019·三明期末)已知函数f(x)＝x3－ax2＋x＋b在x＝1处取得极值．(1)当b＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数b的取值范围．解： f′(x)＝3x2－2ax＋1，由题意知f′(1)＝0，所以3－2a＋1＝0，即a＝2.所以f(x)＝x3－2x2＋x＋b.(1)当b＝－2时，f(x)＝x3－2x2＋x－2，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝－2，所以f(x)在x...
