第七章第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算[基础训练组]1．(导学号14577691)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断解析：B[ OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.∴P，A，B，C四点共面．]2．(导学号14577692)在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：B[如题图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.]3．(导学号14577693)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D．(1,1,2)解析：A[设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，∴DP＝(0,0，a)，AE＝. cos〈DP，AE〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐标为(1,1,1)．]4．(导学号14577694)在△ABC中，|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE·AF＝()A.B.C.D.解析：B[|AB＋AC|＝|AB－AC|，化简得AB·AC＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由E，F为BC的三等分点知E，F，所以AE＝，AF＝，所以AE·AF＝×＋×＝.]15．(导学号14577695)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为()A．0B.C.D.解析：A[设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.]6．(导学号14577696)在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)．解析：OE＝OA＋AE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋AB＋AC＝OA＋(OB－OA)＋(OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c7．(导学号14577697)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________.解析：由条件知|a|＝，|b|＝3，a·b＝6－λ.∴cos〈a，b〉＝＝＝.整理得55λ2＋108λ－4＝0解得λ＝－2或λ＝.答案：－2或8．(导学号14577698)如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________.2解析：AD＝AB＋BC＋CD，所以AD2＝AB2＋BC2＋CD2＋2AB·CD＋2AB·BC＋2BC·CD＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cosθ，所以|AD|＝，即AD的长为.答案：9．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各个面都是平行四边形，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)求证：A、E、C1、F四点共面；(2)已知EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．解：(1)证明： AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.又AC1、AE、AF有公共点A，∴A、E、C1、F四点共面．(2) EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1.∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝.10．(导学号14577699)已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．解：(1) a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.(2)法一： ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.3法二：由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－.[能力提升组]11．(导学号14577700)(2018·济南市质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：A[不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0,0,0)...
