高考数学 考点42 圆锥曲线中的综合性问题试题解读与变式-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点42圆锥曲线中的综合性问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．【命题规律】圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（一）探究直线与曲线的公共点例1.【2016新课标卷】在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：22(0)ypxp于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（1）求OHON；（2）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【解析】（1）由已知得),0(tM,),2(2tptP.又N为M关于点P的对称点,故),(2tptN,ON的方程为xtpy,代入pxy22整理得0222xtpx,解得01x,ptx222,因此)2,2(2tptH.所以N为OH的中点,即2||||ONOH.（2）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：1直线MH的方程为xtpty2,即)(2typtx.代入pxy22得04422ttyy,解得tyy221,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点M到定点1,0F和定直线4x的距离之比为12，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点,AB，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得APFBPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．（2）存在.设直线1122:10,1,,1,,,0lxtytAtyyBtyyPm,则22221{314123412xtytyyxy，即2234690tyty，12122269,3434tyyyytt，由APFBPF得0APBPkk,即1212011yytymtym，2整理得1212210tyymyy，∴22962103434ttmtt，解得4m，综上知,在x轴上是存在点4,0P满足题意.【变式2】【2017湖南省常德市一模】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交，所得弦长为1，斜率为k(0k)的直线l过点1,0，且与椭圆C相交于不同的两点AB，．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使得无论k取何值，2214kMAMBk�为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由题意可知椭圆C过点1,2c，则222114cab，又2223,2ceabca，解得2,1,3abc，则椭圆方程21111'axxaxaxafxxx.（2）设在x轴上存在点M（t，0）满足题意,直线l过点（1，0）且斜率为k，则直线l的方程可设为1ykx，由221{41xyykx，可知222414xkx，2222148440kxkxk，3易知0，设1122,,,AxyBxy，则21222122814{4414kxxkkxxk，由题可设2214kMAMBmmk�为常数，22224844ktttmmk对任意实数0kk恒成立；22484{4ttmtm，解得2,0tm，存在点M（2，0）满足题意，且常数为0.（二）探求参数值例2.【2016年高考四川卷】已知椭圆E：22221(0)xyabab的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3lyx与椭圆E有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；（2）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得2PTPAPB，并求的值.【分析】（1）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得2ac，从而可得2ab，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆...