导数的热点问题1．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0
9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1
5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．(2)y′＝－＝，令y′＝0，得v＝10，当00)．(1)如图，设直线x＝－，y＝－x将坐标平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y＝f(x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(2)当a>时，求证：∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，有f(x1)＋f(x2)4，∴u′(x)＝－8a0时，f′(x)为减函数，不妨设x2>x1>0，令g(x)＝f(x)＋f(x1)－2f(x>x1)，可得g(x1)＝0，g′(x)＝f′(x)－f′， x>且f′(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴g′(x)x1时，g(x)为减函数，∴g(x2)g(x)，即证lnx＋>e－x(x∈(0，＋∞))，只需证xlnx＋>xe－x(x∈(0，＋∞))．令u(x)＝xlnx＋，v(x)＝xe－x，x∈(0，＋∞)．则由u′(x)＝lnx＋1＝0，得x＝，∴u(x)在上单调递减，在上单调递增，∴u(x)min＝u＝
又由v′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)＝0，得x＝1，∴v(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴v
