考点规范练66几何证明选讲考点规范练B册第48页基础巩固组1.如图所示,已知DE∥BC,BF∶EF=3∶2,求AC∶AE和AD∶DB的值.解: DE∥BC,∴. BF∶EF=3∶2,∴.同理DE∥BC,得AB∶AD=3∶2,∴,则AD∶BD=2∶1.2.(2015辽宁丹东一模)已知A,B,C,D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.(1)求证:BD平分∠ABC;(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.(1)证明: AC∥DE,直线DE为圆O的切线,∴D是弧的中点,即.又∠ABD,∠DBC分别是两弧所对的圆周角,故有∠ABD=∠DBC.∴BD平分∠ABC.(2)解: ∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴.又,∴AD=DC.∴. AB=4,AD=6,BD=8,∴AH=3.3.(2015河北邯郸二模)如图,已知AB为半圆O的直径,C为圆弧上一点,过点C作半圆的切线CF,过点A作CF的垂线,垂足为D,AD交半圆于点E,连接EC,BC,AC.(1)证明:AC平分∠BAD;(2)若AB=3,DE=,求△ABC的面积.(1)证明:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得∠DCA=∠CBA.又因为∠CDA=∠BCA=90°,得∠BAC=∠CAD.所以AC平分∠BAD.(2)解:由CD为半圆O的切线,根据弦切角定理得∠DCE=∠CAD.又因为∠CAD=∠CAB,所以∠DCE=∠CAB.可得△DCE∽△CAB,则.又因为EC=BC,AB=3,DE=,所以BC=,即S△ABC=.4.(2015南昌一模)如图,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证:AB·PC=PA·AC;(2)求AD·AE的值.(1)证明: PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACB,又∠P为公共角,∴△PAB∽△PCA,∴,即AB·PC=PA·AC.(2)解: PA为圆O的切线,PC是过点O的割线,∴PA2=PB·PC,∴PC=40,BC=30.又 ∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900.又由(1)知,∴AC=12,AB=6,连接EC,则∠CAE=∠EAB,△ACE∽△ADB,∴,AD·AE=AB·AC=6×12=360.5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直于BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.(1)证明:如图,连接DE,交BC于点G.由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,则∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连接BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.6.如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F.(1)证明:A,E,F,M四点共圆;(2)若MF=4BF=4,求线段BC的长.(1)证明:如图,连接AM.由AB为直径可知∠AMB=90°.又CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90°.所以∠AEF+∠AMB=180°.因此A,E,F,M四点共圆.(2)解:连接AC,由A,E,F,M四点共圆,可知BF·BM=BE·BA.在Rt△ABC中,BC2=BE·BA.又由MF=4BF=4,知BF=1,BM=5,所以BC2=5,BC=.7.(2015东北三校一模)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边上的中点,连接OD交圆O于点M.(1)求证:DE是圆O的切线;(2)求证:DE·BC=DM·AC+DM·AB.证明:(1)连接BE,OE, AB是直径,∴∠AEB=90°. ∠ABC=90°=∠AEB,∠A=∠A,∴△AEB∽△ABC,∴∠ABE=∠C. BE⊥AC,D为BC的中点,∴DE=BD=DC,∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO,∠DBE=∠DEB,∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°,∴∠OED=90°,∴DE是圆O的切线.(2) O,D分别为AB,BC的中点,∴DM=OD-OM=(AC-AB),∴DM·AC+DM·AB=DM·(AC+AB)=(AC-AB)·(AC+AB)=(AC2-AB2)=BC2=DE·BC.∴DE·BC=DM·AC+DM·AB.导学号〚92950915〛能力提升组8.(2015课标全国Ⅱ,理22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.解:(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为×(2)2×.导学号〚92950916〛9.(2015陕西,理2...
