3.2.5距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为()A．10B．3C．D．【解析】由题意可知PA＝(1,2，－4)．设点P到α的距离为h，则h＝＝.【答案】D2．在△ABC中，AB＝15，∠BCA＝120°，若△ABC所在平面α外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到α的距离是()A．13B．11C．9D．7【解析】作PO⊥α于点O，连接OA，OB，OC，∴PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．∴OA＝＝＝5，∴PO＝＝11即为所求．【答案】B3．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.B．C．D．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，∴DM＝，DB＝(a，a,0)，DA1＝(a,0，a)．设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．∴d＝＝＝a.【答案】A4．若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()【导学号：15460082】A.B．1C．D．【解析】如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的1距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1，所以BB1＝，即点A1到平面ABCD的距离为.【答案】D5．已知二面角αlβ为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为()A．2B．2C．2D．4【解析】作PM⊥β，QN⊥α，垂足分别为M，N.分别在平面α，β内作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E，F，如图所示，连接ME，NF，则ME⊥l，∴∠PEM为二面角αlβ的平面角，∴∠PEM＝60°.在Rt△PME中，|PE|＝＝＝2，同理|QF|＝4.又PQ＝PE＋EF＋FQ，∴|PQ|2＝4＋|EF|2＋16＋2PE·EF＋2PE·FQ＋2EF·FQ＝20＋|EF|2＋2×2×4cos120°＝12＋|EF|2.∴当|EF|2取最小值0时，|PQ|2最小，此时|PQ|＝2.【答案】C二、填空题6．如图3242，已知在60°的二面角αlβ中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.图3242【解析】 AC⊥l，BD⊥l，αlβ为60°的二面角，∴〈CA，DB〉＝60°. AB＝AC＋CD＋DB，∴AB2＝AC2＋CD2＋DB2＋2AC·CD＋2AC·DB＋2CD·DB，∴52＝12＋CD2＋4＋2·|AC||DB|×cos〈AC，DB〉，∴CD2＝20－2×1×2×cos120°＝22，∴|CD|＝.2【答案】7．在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，∴PC＝(2,2，－2)，BC＝(0,2,0)．设n＝(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x＝1，则n＝(1,0,1)．又BD＝(－2,1,0)，∴点D到平面PBC的距离为＝.【答案】8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．【解析】建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F，如图所示．设平面A1D1E的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1D1＝0，n·A1E＝0，即∴－ax＝0，ay－z＝0，∴令z＝2，得n＝(0,1,2)．又FD1＝，∴所求距离d＝＝＝a.【答案】a三、解答题9．在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，E，F分别为PC，AD的中点．3图3243(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．【解】(1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)．∴DE＝FP＋FB.∴DE∥平面PFB.又 D∉平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)令平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令x＝2，则∴法向量n＝(2，－1,1)．又 PE＝(0,1，－1)，∴d＝＝＝.∴点E到平面PFB的距离为.10．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．【解】(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P(0,0,1)...
