高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课后导练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.1数学归纳法课后导练基础达标1设f(n)=nnnn21312111(n∈N*），那么f(n+1)-f(n)等于()A.121nB.221nC.121n+221nD.121n-221n解析:f(n+1)-f(n)=)212111(221121213121nnnnnnnn22112111221121nnnnn答案:D2若把正整数按下图所示的规律排序,则从2002到2004年的箭头方向依次为()A.↓→B.→↓C.↑→D.→↑解析:2002=4×500+2,而an=4n是每一个下边不封闭的正方形左,上顶点的数.答案:D3凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:由n边形到n+1边形,增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线,及原先的一条边成了对角线.答案:C4用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.112kkD.132kk解析:当n=1时,显然成立.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·…·(k+k),当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+1)(k+2)·…·(k+k)·1)22)(12(kkk=(k+1)(k+2)·…·(k+k)2(2k+1).答案:B5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有__________个点.解析:观察图形点分布的变化规律,发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外1还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点;…;依次类推,第n个图形中除中心外有n条边,每边n-1个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1.答案:n2-n+1综合运用6如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是()A.P(n)对n∈N*成立B.P(n)对n>4且n∈N*成立C.P(n)对n<4且n∈N*成立D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立解析:由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n=4也成立).同理,可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.答案:D7用数学归纳法证明“1+21+31+…+121n1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为121n;由n=k,末项为121k到n=k+1,末项为1211k=kk2121,∴应增加的项数为2k.答案:C8观察下表:12343456745678910……设第n行的各数之和为Sn,则2limnSnn=__________.解析:第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳:第n项的各数之和Sn=(2n-1)2,22)12(limlimnnnSnnn=4.答案:49已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α,β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立,证明你的结论.解析: f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.2又f(1)=-lga,∴.21,21,142,0∴f(n)=(21n2-21n-1)lga.证明如下:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时成立,即f(k)=(21k2-21k-1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(21k2-21k-1+k)lga=［21(k+1)2-21(k+1)-1］lga.∴当n=k+1时,等式成立.综合(1)(2),可知存在实数α,β且α=21,β=-21,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n∈N*都成立.拓展探究10是否存在常数a,b,c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a,b,c所确定的等式都成立.解:分别用n=1,2,3代入解方程组.0,41,411898134160cbacbacbacba下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,由上可知等式成立;(2)假设当n=k时,等式成立,则当n=k+1时,左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=41k4+(-41)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=41(k+1)4-41(k+1)2.∴当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.备选习题11如图,第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有______个顶点.3解...