课时作业14定积分在几何中的应用知识点一不分割图形面积的求解1.由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)，直线x＝a，x＝b(a＜b)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()A．f(x)dxB．－f(x)dxC．f(x)dx－adxD．f(x)dx－bdx答案B解析由定积分的几何意义，可知S＝－f(x)dx.2.如图，曲线y＝x2(x≥0)和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为()A．B．C．D．答案D3．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A．B．41C．D．6答案C解析如下图阴影部分面积即为所求，求得曲线y＝与直线y＝x－2的交点为A(4,2)，知识点二分割图形面积的求解4.由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为()A．B．1C．D．答案B解析由图可知，所求面积S＝(x2－x)dx＋(x－x2)dx＝|＋＝＋＝1.5．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积等于()A．(x－x3)dxB．(x3－x)dxC．2(x－x3)dxD．2(x－x3)dx答案C解析如下图．2阴影部分的面积S＝2(x－x3)dx.故选C．6．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)的面积的最小值．解由定积分与微积分基本定理，得S＝S1＋S2＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝|＋|＝t3－t3＋－t2－t3＋t3＝t3－t2＋，t∈(0,1)，所以S′＝4t2－2t，所以t＝或t＝0(舍去)．当t变化时，S′，S变化情况如下表：tS′－0＋S单调递减极小值单调递增所以当t＝时，S最小，且Smin＝.一、选择题1．如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为()3A．|x2－1|dxB．C．(x2－1)dxD．(x2－1)dx答案A解析由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如图所示的阴影部分的面积相等，即|x2－1|dx.故选A．2．如图，阴影部分的面积为()A．9B．C．D．答案B解析由求得两曲线交点为A(－2，－4)，B(1，－1)．结合图形可知阴影部分的面积为S＝[－x2－(x－2)]dx＝(－x2－x＋2)dx＝＝.3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A．B．C．D．4答案B解析由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝2＝.故选B．4．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A．B．2C．D．答案C解析由题知，抛物线C的焦点为F(0,1)，又l过F且与y轴垂直，∴l为y＝1，∴l与C所围成的图形面积S＝4×1－dx＝4－＝4－＝4－＝.5．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c等于()A．B．C．1D．答案B解析由得x＝0或x＝.∵0＜x＜时，x2＞cx3，∴S＝∫0(x2－cx3)dx＝＝－＝＝，∴c3＝，∴c＝.二、填空题6．曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为________．答案e＋－2解析作出图形，如图所示．S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)＝e＋－(1＋1)＝e＋－2.7．由正弦曲线y＝sinx，x∈和直线x＝及x轴所围成的平面图形的面积等于________．答案3解析如图，所围成的平面图形(阴影部分)的面积58．如图，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，x0＝________.答案解析由题意得阴影部分的面积为x2dx＝x，因此x＝×·x0，解得x0＝.三、解答题9．计算由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S.解画出两函数的图象，如图所示．由得或又直线x＋y＝3与x轴交于点(3,0)，∴S＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝＋1＋－＝.10．在曲线y＝x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.求切点A的坐标以及切线方程．6解由题意可设切点A的坐标为(x0，x)，则切线方程为y＝2x0x－x，可得切线与x轴的交点坐标为.画出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－x与x轴所围图形如右图所示．故S＝S1＋S2解得x0＝1，所以切点坐标为A(1,1)，所求切线方程为y＝2x－1.7
