第5讲数列与其他知识的交汇选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B数列的单调性、周期性等性质1,3,147,11数列与函数、方程的综合2,4,7,8,9,10,121,2,3,8,9,10,12,13,14,17双数列交汇问题6,134,15,16数列与解析几何5,11,155,6巩固提高A一、选择题1.已知函数y=f(x),x∈R,数列{an}的通项公式是an=f(n),n∈N*,那么“函数y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的(A)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:如函数在[1,2]上先减后增,且1处的函数值小于2处.“函数y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件.故选A.2.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列{an}满足a1=1,且对任意n∈N*,点(an,an+1)都在函数f(x)的图象上,则a2016的值为(B)x1234f(x)3124(A)1(B)2(C)3(D)4解析:an+1=f(an),a2=f(a1)=f(1)=3,a3=f(a2)=f(3)=2,a4=f(a3)=f(2)=1,从而{an}的周期是3,a2016=a3=2.故选B.3.已知an=,数列{an}的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是(C)(A)an与Sn都有最大值(B)an与Sn都没有最大值(C)an与Sn都有最小值(D)an与Sn都没有最小值解析:画出an=的图象,点(n,an)为函数y=图象上的一群孤立点,(,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大.4.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a1007>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2013)的值(A)(A)恒为正数(B)恒为负数(C)恒为0(D)可正可负解析:a1+a2013=2a1007>0a⇒1>-a2013f(a⇒1)>f(-a2013)=-f(a2013)f(a⇒1)+f(a2013)>0,同理,f(a2)+f(a2012)>0,f(a3)+f(a2011)>0,…,f(a1006)+f(a1008)>0,又a1007>0f(a⇒1007)>f(0)=0,以上各式相加,得f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2013)>0.故选A.5.如图所示,矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上,另外两个顶点Cn,Dn在函数f(x)=x+(x>0)的图象上.若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2,n∈N*),记矩形AnBnCnDn的周长为an,则a2+a3+…+a10等于(B)(A)220(B)216(C)212(D)208解析:由题意得,因为Cn,Dn在函数f(x)=x+(x>0)的图象上,设点Bn坐标为(n,0)(n≥2,n∈N*),所以Cn的纵坐标为n+,Dn的横坐标为,所以矩形AnBnCnDn的一条边长为n+,另一条边长为n-,所以矩形AnBnCnDn的周长为an=2(n++n-)=4n,所以a2+a3+…+a10=4(2+3+…+10)=4×=216.故选B.6.设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则(B)(A){Sn}为递减数列(B){Sn}为递增数列(C){S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列(D){S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列解析:因为an+1=an,bn+1=,cn+1=,所以an=a1,bn+1+cn+1=+=(bn+cn)+an=(bn+cn)+a1,bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1.于是△AnBnCn中,边长BnCn=a1为定值,另两边的长度之和为bn+cn=2a1为定值.因为bn+1-cn+1=-=-(bn-cn),所以bn-cn=(-)n-1(b1-c1),当n→+∞时,有bn-cn→0,即bn→cn,于是△AnBnCn的边BnCn的高hn随n增大而增大,于是其面积Sn=|BnCn|hn=a1hn为递增数列.故选B.二、填空题7.若函数f(x)满足f(x+10)=2f(x+9),且f(0)=1,则f(10)=.解析:令x+9=t,则x=t-9,所以由f(x+10)=2f(x+9)得f(t+1)=2f(t),即=2,即数列{f(t)}的公比为2,不妨设a1=f(0),则有a11=f(10),所以由a11=a1q10,即a11=210,所以f(10)=210.答案:2108.f(x)=+2,若a,b,c成等差数列(公差不为0),则f(a)+f(c)=.解析:函数y=f(x)的对称中心为(b,2),a+c=2b,从而f(a)+f(c)=2×2=4.答案:49.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin2x+2cos2,yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为.解析:因为数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,所以数列{an}是等差数列,因为a5=,所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π,因为f(x)=sin2x+2cos2=sin2x+cosx+1,所以f(x)的对称中心是(π,1),同理f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,所以f(a5)=1,所以数列{yn}的前9项和为9.答案:910.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a3+a5=.解析:y′=2x,(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),代入点(ak+1,0),则-=2ak(ak+1-ak),ak+1=ak.{ak}是公比为的等比数列,ak=16()k-1,...
