第2课时利用导数研究函数的最值[A基础达标]1．函数f(x)＝x3－3x(－10，当10，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f.5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，所以f(x)在(－2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当x＝0时，f(0)＝m最大，所以m＝3.因为f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以最小值为－37.6．若函数f(x)在区间[a，b]上满足f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．解析：由f′(x)>0知，函数f(x)在区间[a，b]上为增函数，所以f(a)为最小值，f(b)为最大值．答案：小大7．函数f(x)＝sinx＋cosx在x∈时的最大值，最小值分别是________．解析：f′(x)＝cosx－sinx，令f′(x)＝0，即tanx＝1，而x∈，所以x＝.又f＝，f＝－1，f＝1，所以x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1.答案：，－18．函数f(x)＝ax3＋2ax＋1在区间[－3，2]上有最大值4，则实数a＝________．2解析：f′(x)＝3ax2＋2a＝a(3x2＋2)．当a>0时，f′(x)>0，所以f(x)max＝f(2)＝8a＋4a＋1＝4，解得a＝；当a<0时，f′(x)<0，所以f(x)max＝f(－3)＝－27a－6a＋1＝4，解得a＝－.答案：或－9．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)求g(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f′(x)＝3ax2＋2x＋b，所以g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.(2)由第一问知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.解得x1＝－(舍去)，x2＝，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，因此g(x)在区间[1，2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.10．已知函数f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[，e]上的最大值．解：(1)f′(x)＝－2bx.由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，得，即，解得.(2)由第一问，得f(x)＝lnx－x2，3定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－x＝.令f′(x)>0，得01，所以f(x)在(，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以f(x)在[，e]上的最大值为f(1)＝－.[B能力提升]11．若函数f(x)＝asinx＋sin3x在x＝处有最值，则a等于()A．2B．1C．D．0解析：选A.因为f(x)在x＝处有最值，所以x＝是函数f(x)的极值点．又因为f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，所以f′＝acos＋cosπ＝0，解得a＝2.12．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．解析：f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝c2－8c＋12＝0，解得c＝2或c＝6.当c＝2时，f(x)在x＝2处取极小值，不合题意，舍去．答案：613．设函数f(x)＝x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2....
