(一)立体几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行.【答案】D2.下列说法不正确的是()A.空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确.易知当直线与平面垂直时，过这条直线有无数个平面与已知平面垂直.选D.【答案】D3.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】作两个相交平面，交线为n，使得直线m⊥α，假设β内一定存在直线a与m平行，因为m⊥α，而a∥m，所以直线a⊥α，而a⊂β，所以α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，所以β内不一定存在直线a与m平行，因为直线m⊥α，n⊂α，又n⊂β，所以m⊥n，所以在β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直，故选C.【答案】C4.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是()A.若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b【解析】A中，a、b可以平行或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交.【答案】D5.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解析】利用线面垂直的性质进行分析. α∩β＝l，∴l⊂β. n⊥β，∴n⊥l.【答案】C6.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误.故选B.【答案】B7.如图1所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是()图1A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD【解析】由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝AB.又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.所以A、B、C项均正确.选D.【答案】D8.如图2所示，在三棱锥V-ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论不正确的是()图2A.平面VAC⊥平面ABCB.平面VAB⊥平面ABCC.平面VAC⊥平面VBCD.平面VAB⊥平面VBC【解析】AV⊥BA，VA⊥AC，BA∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，易知A、B正确， BC⊥AB，平面VAB∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面VAB，易知D正确，故选C.【答案】C9.将正方形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，M为CD的中点，则∠AMD的大小是()A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】如图，设正方形边长为a，作AO⊥BD，则AM＝＝＝a，又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.【答案】D10.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为()A.B.C.D.【解析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接PE. PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE. AE＝＝，PA＝1，∴PE＝＝.【答案】B11.如图3所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()图3A.17πB.18πC.20πD.28π【解析】由三视图还原为直观图后计算求解.由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体...
