对数函数单调性应用例析我们知道,对数函数logayx(0a,且1)a当1a时,在(0,)上为增函数当01a时,在(0,)上为减函数。对数函数的单调性,在比较大小方面的题目时具有特殊功效。例1比较下列各组数中两个值的大小:(1)3log3.4与3log7.5;(2)log5.1a与log5.9a(0a,1a)。分析:对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定。解析:(1)考察函数3logyx,因为它的底数31,所以它在(0,)上为增函数,所以3log3.43log7.5。(2)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1,而已知条件中并未指明底数a与1哪个大,因此,需对底数a进行讨论。当1a时,函数logayx在(0,)上为增函数,于是log5.1alog5.9a;当01a时,函数logayx在(0,)上为减函数,于是log5.1alog5.9a。评注:本题是利用对数函数的单调性比较两个对数的大小的,对底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。例2若实数a满足2log13a,求a的取值范围。分析:需对a进行分类讨论。当1a时,∵log1aa,∴2loglog3aaa,∴23a;当01a时,∵2loglog3aaa,∴23a,即203a。故20,(1,)3a。用心爱心专心评注:解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必要①当1a时,若log0ax,则1x,若log0ax,则01x;②当01a时,若log0ax,则01x,若log0ax,则1x。例3函数2222()2(log)logfxxaxb在12x时有最小值1,试确定a、b的值。分析:解答本题需运用配方法确定函数的最值。解析:222222()2(log)(2log)2log22aafxxaxbxb,∴()fx在2log2ax时有最小值22ab。又∵12x时,()fx有最小值1,∴221log2212aab,解得2a,3b。评注:将求指数函数、对数函数的最大值、最小值问题,转化为求二次函数的最大值、最小值,是解决这种问题的一个基本方法。用心爱心专心