[74分]解答题标准练(二)1．(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．解(1)f(x)＝2sin2－cos2x＝1－cos－cos2x＝1－sin2x－cos2x＝1－2sin.所以f(x)的最小正周期为π，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)当x∈时，2x＋∈，sin∈，所以f(x)∈[－1,1－]．2.(2018·宁波模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PA的中点，AB＝2a，BC＝a，PC＝PD＝a.(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求直线AC与平面PAD所成角的正弦值．(1)证明设AC与BD的交点为O，连接EO.因为底面ABCD为矩形，所以O为AC的中点．在△PAC中，E为PA的中点，所以EO∥PC.又EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE.所以PC∥平面BDE.(2)解在△PCD中，DC＝2a，PC＝PD＝a，所以DC2＝PD2＋PC2，即PC⊥PD.因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC.又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以PC⊥平面PAD.故∠PAC就是直线AC与平面PAD所成的角．在Rt△PAC中，AC＝a，PC＝a，所以sin∠PAC＝＝＝，即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为.3．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.(1)解∵数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝22，∴a5＝(a2＋a8)＝11.∵a4，a7，a12成等比数列，∴a＝a4·a12，即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，又d≠0，∴d＝2，∴a1＝11－4×2＝3，∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．(2)证明由(1)得Sn＝＝n(n＋2)，∴＝＝.∴Tn＝＋＋…＋＝＝＝－<.∴Tn<.4．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦距是2.点P为C1上一动点，且满足P与点A1(－a,0)，A2(a,0)连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C1的方程；(2)当点P在x轴上方时，过P点作椭圆C1的切线l交抛物线C2：x2＝y于A，B两点，点P关于原点O的对称点为Q，求△QAB面积的最小值．解设P(x0，y0)(x0≠±a)，则·＝＝－，即＋＝1，又＋＝1，∴2b2＝a2，且c＝1，∴a2＝2，b2＝1，即椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)设切线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，又Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，得m2＝2k2＋1.再由得x2－kx－m＝0，Δ＝k2＋4m>0，即m2＋8m－1>0，即m>－4＋或m<－4－，由题意知m>0，且m2≥1，∴m≥1，∴|AB|＝|x1－x2|＝·.点O到直线AB的距离d＝，∵点Q为点P关于原点的对称点，∴S△ABQ＝2S△ABO＝|AB|·d＝|m|＝|m|，令函数f(m)＝|m|(m≥1)，显然f(m)在[1，＋∞)上为增函数，∴S△ABQ≥f(1)＝2.即△QAB面积的最小值为2.5．已知函数f(x)＝(x>0，a∈R)．(1)当a>－时，判断函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有两个极值点时，若f(x)的极大值小于整数m，求m的最小值．解(1)由题f′(x)＝＝(x>0)．方法一由于－x2＋3x－3≤－<0，－ex<－1<0，ex>1，(－x2＋3x－3)ex<－，又a>－，所以(－x2＋3x－3)ex－a<0，从而f′(x)<0，于是f(x)为(0，＋∞)上的减函数．方法二令h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a，则h′(x)＝(－x2＋x)ex，当0
0，h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，h(x)为减函数．故h(x)在x＝1处取得极大值，也为最大值．则h(x)max＝h(1)＝－e－a.由于a>－，所以h(x)max＝h(1)＝－e－a<0，于是f(x)为(0，＋∞)上的减函数．(2)令h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a，则h′(x)＝(－x2＋x)ex，当00，h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，h(x)为减函数．当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞.由于f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即h(x)＝(－x2＋3x－3)ex－a＝0在(0，＋∞)上有两不等实根x1，x2(x10，h＝－－a<－＋3<0，则x2∈.而f′(x2)＝＝0，即＝，(#)所以f(x)极大值＝f(x2)＝，于是f(x2)＝，(*)令t＝x2－2⇒x2＝t＋2，则(*)可变为g(t)＝a＝a，可得－1<<－，而－32.又由(#)得a＝(－x＋3x2－3)，把它代入(*)得f(x2)＝(2－x2)，所以当x2∈，f′(x2)＝(1－x2)<0恒成立，故f(x2)＝(2－x2)为上的减函数，所以f(x2)>f＝>2.所以满足题意的整数m的最小值为3.
