高二数学第四章第2节导数在实际问题中的应用北师大版（文）选修1－1【本讲教育信息】一.教学内容：选修1-1第四章第2节导数在实际问题中的应用二、教学目标：1．进一步理解导数的意义，特别是在实际问题中的导数的意义。2．理解函数最大值和最小值的概念，掌握最值和极值的关系。3．会求函数在闭区间内的最值。会用最值理论解决一些简单的应用问题。三、教学重、难点函数最大值、最小值的概念和求法是本周学习的重点，求实际应用问题中函数的最大值和最小值是本周学习的难点。四、知识要点分析：（一）实际函数中导数的意义：函数f（x）的在x0处的导数在数学中表示函数f（x）在x0处的瞬时变化率，但对于实际函数，瞬时变化率又有其他具体的含义。例如位移函数s=s（t）在t0处的瞬时变化率表示t=t0时单位时间内位移的改变量，即t=t0时的瞬时速度。而速度函数v=v（t）在t=t0时的瞬时变化率表示t=t0时单位时间内的速度的改变量，即t=t0时的瞬时加速度。不同的函数的瞬时变化率都具有其自己的含义，在解决具体问题时要根据具体的函数考虑其瞬时变化率的具体含义。（二）函数的最大值和最小值：（1）函数的最大值与最小值的定义：如果在区间[a，b]内存在一点x0，使函数f（x）对于区间[a，b]内的任意x都有f（x）≤f（x0）我们就称f（x）在x0取得最大值，或者x0是f（x）在区间[a，b]内的一个最大值点。如果在区间[a，b]内存在一点x0，使函数f（x）对于区间[a，b]内的任意x都有f（x）≥f（x0）我们就称f（x）在x0取得最小值，或者x0是f（x）在区间[a，b]内的一个最小值点。（2）“最值”与“极值”的区别和联系①“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．②从个数上看，闭区间上的连续函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一。③极值是一个局部的概念，所以函数的某一个极大值可能比另一个极小值小，极小值也可能比另一个极大值还要大。④极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得。⑤连续函数的最大值和最小值只能在极值点和区间端点处取得。所以极值有可能成为最值，如果最值存在且不在端点处取得时一定是极值。（3）利用导数求函数的最值的步骤:若函数在闭区间[a，b]上有定义，在开区间（a，b）内有导数，则函数在区间[a，b]上一定有最大值和最小值，并且最值只能在区间端点处和函数极值点处取得，而函数的极值点只能在导数为零的点处取得，所以只要把连续函数所有的导数为零的点与定义区间端点的用心爱心专心函数值进行比较，就可以得出函数的最值了。一般地，若函数在闭区间上有定义，在开区间（a，b）内有导数，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：①在（a，b）内求使的x的值；②将的各个x的值处的函数值f（x）求出。③将以上求出的各个点处的函数值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值（4）利用函数最值解实际应用问题：解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：①分析实际问题中各个变量之间的联系，引入自变量和因变量，求出相关变量。②建立适当的函数关系，求出函数定义域；③在函数的定义域内，求函数的最值；④利用实际意义检查③的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点x0满足，并且根据实际意义函数确实有最大值或最小值，并且只能在内点处取得，那么上述点就一定是所求函数的最大值或最小值点.【典型例题】考点一：实际问题中导数的意义。例1：设P（t）表示经过t小时的时候H1N1细菌的总数，如果P（t）=100+t4，求并说明其含义。解：表示在t=3时，细菌总数的瞬时变化率，也就是t=3时细菌总数单位时间的改变量，也就是细菌总数的增加速度。例2.某件产品的总成本函数为C=C（q）=200+6q－0.01q2+0.01q3，其中q为生产的产品数量，C为生产所用的总成本，求并说明其含义。解：C=C（q）=200+6q－0.01q2+0.01q3，其含义为q=10时，单位产品所需的成本，经济学家称之为q=10时的边际成本。说明：函数f（x）的在x0处的导数在数学中表示函数f（x）在x0处的瞬时变化率，...
