阶段质量检测（三）A卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a，b∈R＋，且a＋b＝16，则＋的最小值是()A.B.C.D.解析：选A(a＋b)≥2＝4，∴＋≥.当且仅当·＝×，即a＝b＝8时取等号．2．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝3，则x2＋y2＋z2的最小值是()A．1B.C.D．3解析：选Dx2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×≥(1×x＋1×y＋1×z)2×＝＝3.当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立．3．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为()A．4B．4C．6D．6解析：选C∵a，b，c为正数．∴·＝≥a＋b.同理·≥b＋c，≥c＋a，相加，得(＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，即＋＋≥6.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．4．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为()A．21B．11C．18D．28解析：选A根据柯西不等式得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2，∴(3x＋4y－11)2≤100，可得3x＋4y≤21.当且仅当＝＝时，等号成立．5．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为()A．1B.C．3D．4解析：选D(a＋b＋c)＝[()2＋()2]≥2＝22＝4.当且仅当a＋b＝c时，等号成立．6．函数f(x)＝＋的最大值为()A.B.C.D．2解析：选C易知x∈且f(x)>0，∴f(x)＝·＋·1≤＝＝.当且仅当·＝·，即2(2－x)＝3，即x＝时，等号成立．7．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是()A.B.C．2D.解析：选B1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)≥(＋＋2)2·，∴(＋＋2)2≤3，当且仅当a＝b＝4c时等号成立，所求为.8．函数f(x)＝＋cosx，则f(x)的最大值是()A.B.C．1D．2解析：选A由f(x)＝＋cosx，所以f(x)＝·＋cosx≤＝，当且仅当cosx＝时，等号成立．9．已知a＋b＋c＝1，且a，b，c∈R＋，则＋＋的最小值为()A．1B．3C．6D．9解析：选D∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·≥(1＋1＋1)2＝9.10．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排列，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是()A．(0,30]B．(20,30]C．[20,30]D．[20,30)解析：选C由排序原理，得a1＋2a2＋3a3＋4a4≤12＋22＋32＋42＝30，a1＋2a2＋3a3＋4a4≥1×4＋2×3＋3×2＋4×4＝20，∴a1＋2a2＋3a3＋4a3∈[20,30]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．x，y∈R，若x＋y＝1，则x2＋y2的最小值为________．解析：令a＝(1,1)，b＝(x，y)，则a·b＝x＋y＝1.又|a·b|≤|a||b|，∴1≤()2·()2＝2(x2＋y2)，当且仅当x＝y＝时，等号成立，∴x2＋y2≥.答案：12．设a>0，b>0，则(a＋2b)的最小值为________．解析：原式＝[()2＋(·)2]≥2＝(1＋2)2＝9.当且仅当a＝b时，等号成立．答案：913．函数y＝2＋的最大值是________．解析：y＝×＋≤＝.当且仅当x＝时，等号成立．2答案：14．已知a，b，x，y均为正数，且＞，x＞y，则与的大小关系是________．解析：∵＞，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，由排序不等式知，bx＞ay.又－＝＞0，∴＞.答案：＞三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求函数y＝＋的最大值．解：由得≤sinx≤1，则y2＝2≤(1＋4)＝，即y≤，当且仅当4(1－sinx)＝sinx－，即sinx＝时，等号成立，所以函数y＝＋的最大值为.16．(本小题满分12分)已知a＋b＋c＝1，a，b，c都为正实数．求证：(1)abc≤；(2)a2＋b2＋c2≥.证明：(1)因为a＋b＋c≥3·，又a＋b＋c＝1，所以abc≤，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．(2)由柯西不等式，得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2＝，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．由(1)知≤，所以a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．17．(本小题满分12分)(1)已知：a，b∈R＋，a＋b＝4，证明：＋≥1；(2)已知：a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝9，证明：＋＋≥1.并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．证明：(1)根据柯西不等式，得(a＋b)≥2＝4.∵a＋b＝4，∴＋≥1.(2)根据柯西不等式，得(a＋b＋c)≥2＝9.∵a＋b＋c＝9，∴＋＋≥1.可以推广：若a1＋a2＋…＋an＝n2，则＋＋…＋≥1.18．(本小题满分14分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：＋＋≤＋＋＝3≤＝，∴λ的取值范围是.4
