专题15椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝12．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍【答案】A【解析】由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，如图， 线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P(3，b)，把P(3，b)代入椭圆＋＝1，得b2＝.∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝.∴＝＝7.故选A.3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】由余弦定理得cos∠F1PF2＝cos60°⇒＝|⇒PF1|·|PF2|＝4.4．设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率等于()A.B.C.D.5．已知抛物线C的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝()A.B.C.D．2【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a2＝4，b2＝3，∴c＝＝1，故椭圆的右焦点F2为(1，0)，即抛物线C的焦点为(1，0)，∴＝1，∴p＝2，∴2p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝4x，联立解得或 P为第一象限的点，∴P，∴|PF2|＝1＋＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝4－＝，故选B.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．47．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8【答案】C【解析】 y2＝4x，∴F(1，0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3，2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.8．已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝()A.B.C.D.【答案】B【解析】设A，B的纵坐标分别为y1，y2，由＝2得y1＝2y2(如图)．由y＝k(x＋1)得，x＝－1，代入C：y2＝4x并整理得ky2－4y＋4k＝0，又y1，y2是该方程的两根，∴∴由①②得，2＝y＝. k>0，∴k＝.故选B.9．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(c，0)(c>0)，方程ax2＋bx－c＝0的两实根分别为x1，x2，则P(x1，x2)()A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2外C．必在圆x2＋y2＝1外D．必在圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2形成的圆环之间10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】 椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，∴A(a，0)，F(－c，0)． 抛物线y2＝(a＋c)x与椭圆交于B，C两点，∴B，C两点关于x轴对称，可设B(m，n)，C(m，－n)． 四边形ABFC是菱形，∴m＝(a－c)．将B(m，n)代入抛物线方程，得n2＝(a＋c)·(a－c)＝b2，∴B，再代入椭圆方程，得＋＝1，即·＝，化简整理，得4e2－8e＋3＝0，解得e＝(e＝>1不符合题意，舍去)．故选D.11．已知A(－1，0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A.＋＝1B.－＝1C.－＝1D.＋＝1答案：D12．已知双曲线C：x2－＝1的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABF＝()A.B.C.D.解析：由双曲线C：x2－＝1，得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，所以A(1，0)，F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设BF的方程为y＝(x－2)，代入方程y＝－x，解得B(1，－)，所以S△AFB＝|AF|·|yB|＝×1×＝.答案：B13．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|等于________．解析：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为FP＝4FQ，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4.又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ|′＝3.答案：314．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M(1，t)(t＞0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a...
