3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析:(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.故选B.答案:B2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.答案:B3.在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量⃗OB对应的复数为-1+2i,则向量⃗BA对应的复数为()A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析:因为⃗BA=⃗OA−⃗OB,所以⃗BA对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.答案:B4.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i. z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0.∴a=-1.答案:D5.若在复平面内的▱ABCD中,⃗AC对应复数6+8i,⃗BD对应复数-4+6i,则⃗DA对应的复数是()1A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i解析:设⃗AB,⃗AD对应的复数分别为z1与z2,则{z1+z2=6+8i,z2-z1=-4+6i,得2z2=2+14i,z2=1+7i,故⃗DA对应的复数是-1-7i.答案:D6.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第象限.答案:一7.已知z1=1+ai,z2=2a-3i,z3=a2+i(a∈R),若z1-z2+z3是纯虚数,则a=.解析:由已知得z1-z2+z3=(1-2a+a2)+(a+4)i.因为z1-z2+z3是纯虚数,所以{1-2a+a2=0,a+4≠0,解得a=1.答案:18.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析:设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又|z|=3,∴b=3,∴z=3i.答案:3i9.若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.分析:解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解:根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1,所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.10.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,且z1-z2=513+1213i,求cos(α+β)的值.解:因为z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,所以z1-z2=(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ¿i=513+1213i,2所以{cosα-cosβ=513,sinα+sinβ=1213.两式平方相加可得(cosα-cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2-2cos(α+β¿=(513)2+(1213)2=1,即2-2cos(α+β)=1,所以cos(α+β¿=12.能力提升1.已知复数z1=12−√32i,复数z2=cos60°+isin60°,则z1+z2等于()A.1B.-1C.12−√32iD.12+√32i答案:A2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是⃗OA,⃗OB,则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析:由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.答案:B3.已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是()3A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形.答案:B4.★已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是()A.√41+1和√41−1B.3和1C.5√2和√34D.√39和3解析:由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为√41,故所求最大值为√41+1,最小值为√41−1.答案:A5.★已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|¿√3,则|z1-z2|=.解析:在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量⃗OZ1,⃗OZ2,则向量⃗OZ对应z1+z2,⃗Z2Z1对应z1-z2.由题意知∨⃗OZ1∨¿1,∨⃗OZ2∨¿1,∨⃗OZ∨¿√3,可得∠OZ1Z=120°,所以∠Z2OZ1=60°,即△Z2OZ1是等边三角形.所以在△Z2OZ1中,∨⃗Z2Z1∨¿1,即|z1-z2|=1.答案:16.若复数z满足z-1=cosθ+isinθ,则|z|的最大值为.解析:因为z-1=cosθ+isinθ,所以z=(1+cosθ)+isinθ,故|z|¿√(1+cosθ)2+sin2θ=√2+2cosθ≤√2+2=2,即|z|的最大值为2.答案:27.★在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.解:设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,所以|z2|=|ω-z1|.4因为|z2|=1,所以|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.又...
