命题角度5.3：直线与抛物线位置关系1．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．【答案】（1）;（2）∴;（3）．【解析】【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求。（3）解：假设直线过定点，设：与联立，得，设，，∴，．由，解得，∴：过定点．点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用。求解第一问时，直接借助题设条件求出参数的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解。2.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.（1）当取得最小值时，求的值；（2）当时，若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于、两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）当时，的长为定值2.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立函数关系运用基本不等式求解；（2）借助直线与抛物线的位置关系，运用坐标之间的关系分析探求;（2）当时，，则抛物线.设直线，代入得，设，则，，因为，所以，即，又，则，所以直线过定点，故当时，的长为定值2.3.已知抛物线的准线为，焦点为，为坐标原点.（1）求过点，且与相切的圆的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）圆过可得，圆与直线相切，可得.由，得.从而得圆的方程.试题解析：解法一：（1）抛物线的准线的方程为：，焦点坐标为，设所求圆的圆心，半径为，圆过，，圆与直线相切，.由，得.过，且与直线相切的圆的方程为.（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，，，，，联立，消去得.，.直线的方程为，令，得.直线过定点,解法二：（1）同解法一.（2）直线过定点.证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，，，，，联立，消去得，，.，.，即，三点共线，直线过定点.解法三：（1）同解法一.（2）设直线的方程：，，，则.由得，.，.，直线的方程为..直线过定点.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.4.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程以及的值；（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求实数的值.【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）先根据椭圆标准方程求焦点坐标，再根据抛物线标准方程得，最后求出A点坐标，并根据抛物线定义求的值；（2）设，则根据，得，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理得，再将化成坐标关系40，解方程组可得，.试题解析：（1）依题意，椭圆中，，故，故，故，则，故抛物线的方程为.将代入，解得，故.易得，则，则，当，解得，故.5.设圆以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线有且只有一个公共点.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的两条切线与抛物线分别交于点，和，，求经过，，,四点的圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）设过点与圆相切的斜率为正的一条切线的切点为，连接，则，且，，∴，则直线的方程为，与联立，得，记直线与抛物线的两个交点为，，则，，，从而的垂直平分线的方程为，令，得，由圆与抛物线的对称性，可知圆的圆心为，，又点到直线的距离，∴圆的半径，∴圆的方程为.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的标准方程...
