4.2同角三角函数基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2.各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tan－tanα1α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝恒成立.(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.(×)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.(√)1.(2015·福建改编)若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值为.答案－解析 sinα＝－，且α为第四象限角，∴cosα＝，∴tanα＝＝－.2.(教材改编)已知cosθ＝，且＜θ＜2π，那么tanθ的值为.答案－解析因为θ为第四象限角，所以tanθ＜0，sinθ＜0，sinθ＝－＝－，所以tanθ＝＝－.3.(2016·连云港模拟)计算：sinπ＋cosπ＝.答案－1解析 sinπ＝sin(π＋π)＝－sin＝－，cosπ＝cos(2π＋)＝cos＝－，∴sinπ＋cosπ＝－1.24.(教材改编)已知tanα＝1，则＝.答案解析原式＝＝＝.5.(教材改编)化简：＋＝.答案1解析因为tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin(－α)＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，cos(α－)＝cos(α＋)＝－sinα，sin(＋α)＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，所以原式＝＋＝－＝＝＝1.题型一同角三角函数关系式的应用例1(1)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为.(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝.答案(1)(2)－解析(1) ＜α＜，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα>sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝.(2)由得5cos2θ－cosθ－＝0，解得cosθ＝或－.因为θ是第三象限角，所以cosθ＝－，从而sinθ＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可3以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝.答案－1解析由消去sinα得2cos2α＋2cosα＋1＝0，即(cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－.又α∈(0，π)，∴α＝，∴tanα＝tan＝－1.题型二诱导公式的应用例2(1)(2016·宿迁模拟)已知f(x)＝，则f(－)＝.(2)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是.答案(1)－1(2){2，－2}解析(1)f(x)＝＝－tan2x，f(－)＝－tan2(－)＝－tan2π＝－1.(2)当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.∴A的值构成的集合是{2，－2}.思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.(1)化简：＝.(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为.4答案(1)－1(2)－解析(1)原式＝＝＝＝－＝－·＝－1.(2)原式＝＝tanα，根据三角函数的定义得tanα＝－.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3(1)已知α为锐角，...
