学业分层测评(六)椭圆的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.【解析】设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.【答案】62.若a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________.【解析】椭圆的焦点在x轴上时，方程为＋＝1，在y轴上时，方程为＋＝1.【答案】＋＝1或＋＝13.(2016·汉中高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项.该椭圆的方程是________.【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是＋＝1.【答案】＋＝14.过(－3,2)点且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________.【解析】与＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】＋＝15.把椭圆＋＝1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为________.【导学号：24830028】【解析】原方程化为2＋2＝1，所得曲线为x2＋y2＝1.【答案】x2＋y2＝16.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________.【解析】椭圆化为标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝－＝，且焦点在x轴上，故为.【答案】7.方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________.【解析】将方程化为＋＝1，由题意得解之得b>0)，∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴∴故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.10.已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程.【解】(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1，把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.能力提升]1.(2016·绵阳高二检测)设P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则PF1·PF2的最大值是________.【解析】由题意知：PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1·PF2≤2＝2＝16，当且仅当PF1＝PF2时取“＝”号，故PF1·PF2的最大值是16.【答案】162.已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________.【解析】如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1＋PF2＝2a为常数.又因为PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a为常数.即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆.故Q的轨迹为圆.【答案】圆3.(2016·长沙高二检测)若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________.【解析】如图所示，F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6，得AF＋AF＋2AF1·AF2＝36.又在△AF1F2中，AF＋AF－F1F＝2AF1·AF2cos45°，所以36－2AF1·AF2－8＝AF1·AF2，所以AF1·AF2＝＝14(2－)，2所以S△AF1F2＝AF1·AF2sin45°＝×14(2－)×＝7(－1).【答案】7(－1)4.已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1·PF2＝0.试求(1)椭圆的方程.(2)求sin∠PF1F2的值.【解】(1)因为PF1·PF2＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝F1F2·yP＝80，所以PF1·PF2＝160，又PF1＋PF2＝12，所以PF2＝4，所以sin∠PF1F2＝＝＝.3
