命题角度5.6：圆锥曲线的探究、存在性问题1.在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点.（Ⅰ）求实数取值所组成的集合；（Ⅱ）是否存在定点使得任意的，都有直线的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（I）；（II）或.【解析】试题分析：（1）联立直线与椭圆的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；（2）充分利用题设条件建立方程，借助坐标之间的关系进行运算求解、推理论证：（II）假设存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，即，令,所以，整理得：，经检验，满足题意，所以存在定点使得任意的,都有直线的倾斜角互补，坐标为或.点睛：椭圆是典型的圆锥曲线代表之一，也高考必考的重要考点之一。本题的设置旨在考查椭圆的标准方程及几何性质等基础知识和基本技能，同时检测转化化归能力、运算求解能力及数形结合思想函数方程思想等数学思想和方法。求解第一问的思路是联立直线与椭圆的位置关系的方程运用二次方程的判别式建立不等式进行求解；第二问的求解过程则充分利用题设条件进行运算求解、推理论证从而使得问题获证。2.已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，为坐标原点，四边形的面积为，且该四边形内切圆的方程为．（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）若、是椭圆上的两个不同的动点，直线、的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：(1)利用题意求得，，则椭圆的方程为：；(2)分别考查斜率存在和斜率不存在两种情况，求得的面积为定值.（Ⅱ）若直线的斜率存在，设直线的方程为，，，由得：直线与椭圆相交于两个不同的点，得：③由韦达定理：直线的斜率之积等于，满足③又到直线的距离为,所以的面积若直线的斜率不存在，关于轴对称设，，则，又在椭圆上，，所以的面积综上可知，的面积为定值.3.已知动圆经过点，并且与圆相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？是与无关的定值，并求出该值定值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义易知轨迹为椭圆，确定，即可；（2）设，直线，与椭圆联立得，进而通过韦达定理建立根与系数的关系，，由代入化简即可求定值.试题解析：（1）由题设得：，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，椭圆方程为.（2）设，直线，由得，..的值与无关，，解得.此时.（方法：①当时，…；②当时，设直线，…；可以减少计算量.）4.在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）．问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．试题解析：（1）设，则，整理得，∴轨迹的方程为（2）联立消去得，，由得．设，则，由题意，不妨设，的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合∴，解得，即存在定值，对于满足条件，且（据（*）的任意实数，都有的面积与的面积相等．考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题解答中利用直线与椭圆的方程联立，利用方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答关键，试题有一定的难度，属于中档试题．5.已知椭圆：（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问:在轴上是否存在定点,使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由，以原点为圆心，椭圆的长半轴为半径与直线相切，求出的值，由此可求出椭圆的方程；（2）由得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点为。（Ⅱ）由得...
