高考数学一轮复习 核心素养提升系列（四）立体几何高考中档大题的规范问题练习 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

核心素养提升系列(四)（文）1．(导学号14577735)(2018·榆林市一模)如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1.(1)证明：EM⊥BF；(2)求三棱锥E－BMF的体积．解：(1)证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM.又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°.又∵∠BAC＝30°，AC＝4，∴AB＝2，BC＝2，AM＝3，CM＝1.∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，FC＝1，∴FC⊥平面ABCD.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA＝∠FMC＝45°，则∠EMF＝90°，即EM⊥MF.∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF，又BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF.(2)由(1)可知BM⊥平面MFE，且BM＝，而VE－BMF＝VB－MEF.又由(1)可知，AE＝AM＝3，∴∠AME＝45°，FC＝CM＝1，∴∠CMF＝45°，则∠EMF＝90°，则ME＝3，MF＝，∴S△MEF＝×3×＝3，∴VE－BMF＝×3×＝.12．(导学号14577736)(2018·乌鲁木齐市一模)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且BE＝BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1.(1)若点E是边AB的中点，求证：A1D⊥EF；(2)当BE＝时，求三棱锥A1－DEF的体积．解：(1)证明：折叠前有AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后有A1D⊥A1E，A1D⊥A1F.又A1E∩A1F＝A1，∴A1D⊥平面A1EF，∴A1D⊥EF.(2)由正方形ABCD的边长为2，折叠后A1D＝2，A1E＝A1F＝，EF＝，取EF的中点O，连接A1O，则A1O＝＝，∴S△EA1F＝·A1O·EF＝，∴VA1－EFD＝·S△EA1F·A1D＝.3．(导学号14577737)(2018·葫芦岛市一模)如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC＝SD＝CD＝AD＝2AB＝2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若|DQ|＝λ|DA|，(1)当λ＝时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；(2)是否存在实数λ，使得三棱锥Q－BCN的体积为？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．解：(1)证明：E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD.当λ＝时，Q为AD中点，PQ∥CD所以PQ⊥AE.因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥平面ABCD.因为PQ⊂平面ABCD，所以PQ⊥SE所以PQ⊥平面SAE，所以平面MNPQ⊥面SAE.(2)VQ－BCN＝VN－BCQ＝VS－BCQ＝××S△BCQ·h.2∵SC＝SD，E为CD中点，∴SE⊥CD.又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SE⊂平面SCD，∴SE⊥平面ABCD，∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE＝h.在△SCD中，SC＝SD＝CD＝2，∴SE＝.在直角梯形ABCD中，易求得BC＝.∵M，N为中点，∴MN∥AB，∴AB∥平面MNPQ.又∵平面MNPQ∩平面ABCD＝PQ，∴AB∥PQ.又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴S△BCQ＝BC×PQ＝PQ，∴VQ－BCN＝××S△BCQ·h＝××PQ×＝PQ.由题意得PQ＝，∴PQ＝.在梯形ABCD中，＝，PQ－AB＝，ED＝1，∴＝，∴＝，即λ＝，∴存在实数λ＝，使得三棱锥Q－BCN的体积为.4．(导学号14577738)(2018·佛山市一模)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点(1)求证：平面PAB⊥平面CDE；(2)若AD＝CD＝2，求点P到平面ADE的距离．解：(1)证明：取AP的中点F，连结EF，DF.∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∴CD∥AB，CD＝AB，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE.又△PAD为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE.又PA⊥CD，CD∩CE＝C，∴PA⊥平面CDE.3又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE.(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD.又PA⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又(1)知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，∴EF为三棱锥E－PAD的高，且EF＝CD＝2，易得△PAD的面积S△PAD＝×22＝.在Rt△PAB中，PB＝2，AE＝PB＝.在矩形CDEF中，CD＝2，CE＝DF＝，∴DE＝.在△ADE中，AE＝，DE＝，AD＝2.由平面几何知识可得AD边上的高EH＝，∴△ADE的面积S△ADE＝×2×＝.设点P到平面ADE的距离为d，由VP－ADE＝VE－PAD得××2＝×d，解得d＝，∴点P到平面ADE的距离为.4