(四)函数与导数(2)1．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数f(x)＝x3－3x2－m，g(x)＝3ex－6(1－m)x－3(m∈R，e为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f(x)的零点个数；(2)证明：当m>0且x>0时，总有g(x)>f′(x)．(1)解f(x)＝x3－3x2－m的零点个数即为方程x3－3x2＝m的根的个数．记h(x)＝x3－3x2，则h′(x)＝3x(x－2)，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝2
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗极大值0↘极小值－4↗故可画出h(x)的草图如图所示．由图象知，当m0时，函数f(x)有一个零点；当m＝－4或m＝0时，函数f(x)有两个零点；当－40知，m>ln2－1
所以v(ln2)>0，所以v(x)>0，即u′(x)>0，所以u(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，所以当x>0时，u(x)>u(0)＝0
即当m>0且x>0时，g(x)>f′(x)．2．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋cosx(a∈R)，记f(x)的导函数为g(x)．(1)证明：当a＝时，g(x)在R上为单调函数；(2)若f(x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数h(x)的定义域为D，区间(m，＋∞)⊆D
若h(x)在(m，＋∞)上是单调函数，则称h(x)在D上广义单调．试证明函数y＝f(x)－xlnx在(0，＋∞)上广义单调．(1)证明当a＝时，f(x)＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx，即g(x)＝x－sinx，所以g′(x)＝1－cosx≥0，所以g(x)在R上单调递增．(2)解因为g(x)＝f′(x)＝2ax－sinx，所以g′(x)＝2a－cosx
①当a≥时，g′(x)≥1－co
