(四)函数与导数(2)1．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数f(x)＝x3－3x2－m，g(x)＝3ex－6(1－m)x－3(m∈R，e为自然对数的底数)．(1)试讨论函数f(x)的零点个数；(2)证明：当m>0且x>0时，总有g(x)>f′(x)．(1)解f(x)＝x3－3x2－m的零点个数即为方程x3－3x2＝m的根的个数．记h(x)＝x3－3x2，则h′(x)＝3x(x－2)，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗极大值0↘极小值－4↗故可画出h(x)的草图如图所示．由图象知，当m<－4或m>0时，函数f(x)有一个零点；当m＝－4或m＝0时，函数f(x)有两个零点；当－4
0)，则u′(x)＝3(ex－2x＋2m)，记v(x)＝ex－2x＋2m，则v′(x)＝ex－2，当x变化时，v′(x)，v(x)的变化情况如下表：x(0，ln2)ln2(ln2，＋∞)v′(x)－0＋v(x)↘极小值↗由上表可知，v(x)≥v(ln2)，而v(ln2)＝eln2－2ln2＋2m＝2－2ln2＋2m＝2(m－ln2＋1)，由m>0知，m>ln2－1.所以v(ln2)>0，所以v(x)>0，即u′(x)>0，所以u(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，所以当x>0时，u(x)>u(0)＝0.即当m>0且x>0时，g(x)>f′(x)．2．(2017届江苏省南通、扬州、泰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋cosx(a∈R)，记f(x)的导函数为g(x)．(1)证明：当a＝时，g(x)在R上为单调函数；(2)若f(x)在x＝0处取得极小值，求a的取值范围；(3)设函数h(x)的定义域为D，区间(m，＋∞)⊆D.若h(x)在(m，＋∞)上是单调函数，则称h(x)在D上广义单调．试证明函数y＝f(x)－xlnx在(0，＋∞)上广义单调．(1)证明当a＝时，f(x)＝x2＋cosx，所以f′(x)＝x－sinx，即g(x)＝x－sinx，所以g′(x)＝1－cosx≥0，所以g(x)在R上单调递增．(2)解因为g(x)＝f′(x)＝2ax－sinx，所以g′(x)＝2a－cosx.①当a≥时，g′(x)≥1－cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．若x>0，则f′(x)>f′(0)＝0；若x<0，则f′(x)0，则f′(x)f′(0)＝0，所以f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，单调递增区间是(－∞，0)，所以f(x)在x＝0处取得极大值，不符合题意．③当－2a，即g′(x)<0，所以函数f′(x)在(0，x0)上单调递减，所以f′(x)0)．①若a>0，注意到lnx2ax－2－2＝2a.当x>2时，h′(x)>0，所以当m＝2时，函数h(x)在(m，＋∞)上单调递增．②若a≤0，当x>1时，h′(x)＝2ax－sinx－1－lnx≤－sinx－1－lnx<0，所以当m＝1时，函数h(x)在(m，＋∞)上单调递减．综上所述，函数y＝f(x)－xlnx在区间(0，＋∞)上广义单调．3．(2017届天津市耀华中学模拟)已知f(x)＝2x＋1－eax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2为方程f(x)＝1的两个相异的实根，求证：x1＋x2>.(1)解f′(x)＝2－aeax.当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明x1，x2为方程f(x)＝1的两个相异的实根，则x1，x2为方程2x－eax＝0的两个相异的实根，即x1，x2为方程ax＝ln(2x)的两个相异的实根，所以ax1＝ln(2x1)，ax2＝ln(2x2)．不妨设x1>x2>0，则a>0，所以a(x1－x2)＝ln，即a＝，要证明x1＋x2>⇔a>，只需证明>，即证明ln>，令＝t>1，g(t)＝lnt－>0(t>1)，g(1)＝0.g′(t)＝－＝>0，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0，所以ln>成立，即x1＋x2>.4．(2017届福建省厦门第一中学模拟)函数f(x)＝lnx＋x2＋ax(a∈R)，g(x)＝ex＋x2.(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若对于∀x>0，总有f(x)≤g(x)．①求实数a的取值范围；②求证：对于∀x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋>2成...
