2.3.2离散型随机变量的方差课后作业提升1.若X的分布列如下表所示,其中p∈(0,1),则()X01PpqA.E(X)=p,D(X)=pqB.E(X)=q,D(X)=pqC.E(X)=p,D(X)=1-p2D.E(X)=q,D(X)=1-p2解析:由分布列知随机变量X服从两点分布,所以E(X)=q,D(X)=pq.答案:B2.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,设ξ为途中遇到红灯的次数,则随机变量ξ的方差为()A.B.C.D.解析:由随机变量ξ服从二项分布,即ξ~B,可得D(ξ)=3×.答案:B3.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ξ,η,ξ和η的分布列如下:ξ012Pη0121P甲、乙两名工人的技术水平较好的为()A.一样好B.甲C.乙D.无法比较解析:工人甲生产出次品数ξ的期望和方差分别为:E(ξ)=0×+1×+2×=0.7,D(ξ)=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.81.工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:E(η)=0×+1×+2×=0.7,D(η)=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.61.由E(ξ)=E(η)知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D(ξ)>D(η),可见乙的技术比较稳定.答案:C4.若随机变量ξ的分布列为P(ξ=m)=,P(ξ=n)=a,若E(ξ)=2,则D(ξ)的最小值等于()A.0B.2C.4D.无法计算解析:由于分布列中,概率和为1,则a+=1,a=.∵E(ξ)=2,∴=2.∴m=6-2n.∴D(ξ)=×(m-2)2+×(n-2)2=×(n-2)2+×(6-2n-2)2=2n2-8n+8=2(n-2)2.2∴n=2时,D(ξ)取最小值0.答案:A5.随机变量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)=.解析:由题意得2b=a+c①,a+b+c=1②,c-a=③,以上三式联立解得a=,b=,c=,故D(ξ)=.答案:6.袋中有大小、形状、质地相同的3个球,编号分别为1,2,3,从袋中不放回地每次取出1个球,若取到的球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为.解析:X的分布列为X135P则E(ξ)=1×+3×+5×,D(ξ)=.答案:37.设在12件同类型的零件中有2件次品,抽取3次进行检验,每次抽取1件,并且取出后不再放回,若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数.(1)求ξ的分布列、均值和方差;(2)求η的分布列、均值和方差.解:(1)ξ的可能取值为0,1,2,ξ=0表示没有取出次品,故P(ξ=0)=.ξ=1表示取出的3个产品中恰有1个次品,所以p(ξ=1)=.同理P(ξ=2)=.所以,ξ的分布列为ξ012PE(ξ)=0×+1×+2×,D(ξ)=.(2)η的取值可以是1,2,3,且有ξ+η=3,所以P(η=1)=P(ξ=2)=,P(η=2)=P(ξ=1)=,P(η=3)=P(ξ=0)=,所以,η的分布列为η123P4E(η)=E(3-ξ)=3-E(ξ)=3-,D(η)=D(3-ξ)=(-1)2D(ξ)=.8.某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为0)的概率为0.1,飞镖落在靶内的各个点是随机的.已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为30cm,20cm,10cm,飞镖落在不同区域的环数如图中所示.设这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差.解:由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无关.由圆的半径值可得到三个同心圆的半径比为3∶2∶1,面积比为9∶4∶1,所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5∶3∶1,则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k,3k,k,根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1,解得k=0.1,得到离散型随机变量X的分布列为:X08910P0.10.50.30.1X的数学期望E(X)=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7.D(X)=0.1×(0-7.7)2+0.5×(8-7.7)2+0.3×(9-7.7)2+0.1×(10-7.7)2=7.01.56
