1.3全称量词与存在量词学业(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数【解析】选项A、B、C是全称命题，选项D含有存在量词，故选D.【答案】D2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为()A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立【解析】本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．【答案】A3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.【答案】D4．存在实数x0，使得x－4bx0＋3b<0成立，则b的取值范围是()A．b<0B．b>C．b
【解析】由题意，知Δ＝16b2－12b>0.∴b<0或b>.【答案】D5．下列命题为真命题的是()A．对任意x∈R，都有cosx<2成立B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立C．对任意x>0，都有3x>3成立D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔0，则x2＋y>0”的否定是________．【解析】将“任意”换为“存在”，再否定结论．【答案】存在x0∈R，若y>0，则x＋y≤08．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________.【解析】命题为真命题时，a≤0时显然存在x，使ax2＋2x＋a<0.当a>0时，Δ＝4－4a2>0即00，则an＋1－an＝a1＋nd－[a1＋(n－1)d]＝d>0，∴an＋1>an.所以公差大于零的等差数列是递增数列．(3)真命题．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝(x2－x1，y2－y1)，由得如A(1,3)，B(2,6)，AB＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，满足题意．(4)假命题．由于sinx－cosx＝＝sin的最大值为，所以不存在实数x，使sinx－cosx＝2.10．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升]21．下列结论正确的个数为()①命题p“存在x0∈，使得cosx0≤x0”的否定为“任意x∈，cosx>x”；②命题“任意x∈R，>0”的否定为“存在x0∈R，<0”；③函数y＝x2－2x和函数y＝x－的单调递增区间都是[1，＋∞)．A．0B．1C．2D．3【解析】①显然正确；②不正确，应为“存在x0∈R，≤0”；函数y＝x2－2x的单调增区间为[1，＋∞)，函数y＝x－的单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，③不正确．【答案】B2．有四个关于三角函数的命题：p1：...
