考点42直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2014·湖北高考文科·T8)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y=-x,结合双曲线的渐近线方程,可得结论.【解析】选A.由于a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,所以a+b=-,ab=0,过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线为y-a2=(x-a),即y=(b+a)x-ab,即y=-x,因为双曲线-=1的一条渐近线方程为y=-x,所以过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为0.2.（2014·辽宁高考文科·Ｔ8）已知点在抛物线的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为【解题提示】由抛物线的定义知的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；利用直线的斜率公式求出直线的斜率【解析】选Ｃ.根据已知条件得，所以从而抛物线方程为，其焦点从而直线的斜率为二、填空题3.（2014·安徽高考文科·Ｔ15）若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线在点处“切过”曲线：②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线：④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：【解题提示】根据各选项分别判断。【解析】根据题意满足条件的有（1）（3）（4），剩余选项（2）（5）都在切线的一边。答案：④4.（2014·安徽高考理科·Ｔ14））设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________【解题提示】构造直角三角形，利用线段平行、垂直关系及点A,B在椭圆上求得参数b.【解析】如图所示，设，作,则①②又点A,B在椭圆上，所以与①②联立解得。所以椭圆方程为。5.（2014·湖南高考文科·Ｔ14）平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是【解题提示】根据抛物线的定义和直线与圆锥曲线的关系求解。【解析】把机器人看做一个动点，则根据抛物线定义知道它的轨迹为抛物线，其方程为，过点且斜率为的直线方程为，两个方程联立，消去y得，由题意，所以。答案：三、解答题6.(2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T20)(本小题满分12分)设F1,F2分别是椭圆+=1的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率.(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且=5,求a,b.【解题提示】(1)利用直线MN的斜率为再结合a2=b2+c2表示出关于离心率e的方程,解方程求得离心率.(2)结合图形,利用椭圆的性质和焦半径公式求得a,b.【解析】(1)因为由题知,=,所以·=,且a2=b2+c2.联立整理得:2e2+3e-2=0,解得e=.所以C的离心率为.(2)由三角形中位线知识可知,MF2=2×2,即=4.设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似,可得M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.联立解得a=7,b=2.所以,a=7,b=2.7.（2014·湖南高考文科·Ｔ20）（本小题满分13分）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1）求的方程；（2）是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.【解题提示】利用椭圆的定义和直线与圆锥曲线位置关系，联立方程组，求解。【解析】（1）设的焦距为，由题意知，从而因为点，在双曲线上，所以，故由椭圆的定义知于是，故的方程分别为（2）不存在符合题设条件的直线（i）若直线垂直于x轴，因为与只有一个公共点，所以直线的方程为或当时，易知,所以，此时，当，同理可知(ii)若直线不垂直于x轴，设的方程为由得当与相交于A,B两点时，设，则是上述方程的两个实根，从而，于是由得因为直线与只有一个公共点，所以上述方程的判别式化简，得。因此于是即，故综合（i）（ii）可知，不存在符合题设条件的直线8.(2014·广东高考文科·T20)(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,...
