考点测试24正弦定理和余弦定理高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度考纲研读掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一、基础小题1．在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4，则BC＝()A．2B．4C．2D．4答案C解析因为S△ABC＝AB·AC·sinA＝4，故AC＝2；由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝84，故BC＝2.故选C.2．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2答案C解析由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，即3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故选C.3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于()A.B．C．D．答案D解析由bsin2A＝asinB，得2sinBsinAcosA＝sinAsinB，得cosA＝.又c＝2b，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acsinB＝10sinC，a＋b＝7，且cos＝，则c＝()A．4B．5C．2D．7答案B解析 acsinB＝10sinC.由正弦定理可得abc＝10c，即ab＝10. cos＝，∴cosC＝2×2－1＝，则c＝＝＝5.故选B.5．在△ABC中，a2∶b2＝tanA∶tanB，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案D解析 a2∶b2＝tanA∶tanB，由正弦定理可得，＝＝＝， sinAsinB≠0，∴＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝，即△ABC为等腰或直角三角形．故选D.6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()A.B．C．2D．2答案A解析因为△ABC为锐角三角形，sinA＝，所以cosA＝.由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝3.①由cosA＝得b2＋c2＝6.②联立①②，解得b＝，故选A.7．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3b，c＝，且cosC＝，则a＝________.答案3解析 a＝3b，c＝，且cosC＝，由余弦定理可得，cosC＝＝＝，解得b＝1，a＝3.8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，且△ABC外接圆半径为，则a＝________，若b＋c＝3，则△ABC的面积为________．答案3解析 A＝60°，且△ABC外接圆半径R为，∴由正弦定理＝2R，可得a＝2RsinA＝2××sin60°＝3， b＋c＝3，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得9＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝27－3bc，解得bc＝6，∴S△ABC＝bcsinA＝×6×＝.二、高考小题9．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3答案A解析 asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.10．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B．C．D．2答案A解析因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4.故选A.11．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A.B．C．D．答案C解析由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC.因为C∈(0，π)，所以C＝，故选C.12．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.答案解析如图，易知sin∠C＝，cos∠C＝.在△BDC中，由正弦定理可得＝，∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，可得cos∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin∠CBD＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)＝sin∠C·cos∠BDC＋cos∠C·sin∠BDC＝×＋×＝.13．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.答案3解析由＝得sinB＝sinA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍去负值)．三、模拟小题...
