第5课时放缩法A．基础巩固1．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．A≤BC．A＞BD．A＜B【答案】D【解析】∵x＞0，y＞0，∴B＝＋＞＋＝＝A，∴A＜B．故选D．2．函数y＝sin2x＋sin2x，(x∈R)的值域是()A．B．C．D．【答案】C【解析】y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝(sin2x－cos2x)＋＝sin＋，又x∈R，∴－1≤sin≤1.∴－＋≤y≤＋.3．设a>0，b>0，c>0，且S＝＋＋＋，则下列判断中正确的是()A．0＜S＜1B．1＜S＜2C．2＜S＜3D．3＜S＜4【答案】B【解析】∵a>0，b>0，c>0，∴S＝＋＋＋＞＋＋＋＝＝1，即S＞1.又S＜＋＋＋＝＋＝2，即S＜2，故1＜S＜2.4．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，则使得＋取最小值时，实数对(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)【答案】A【解析】方法一：代值检验即可．方法二：∵(4a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当4a＋b＝30且＝，即a＝5，b＝10时，＋取最小值.5．(2017年三明期末)已知a>0，b>0，c>0，设S＝＋＋，则S与1的大小关系是__________．【答案】S＞1【解析】S＝＋＋＞＋＋＝＝1.故答案为S＞1.6．若a，b，c均大于零，且a2＋2ab＋2ac＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值为______________．【答案】2【解析】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥a2＋2ab＋2ca＋4bc＝12，当且仅当b＝c时，a＋b＋c的最小值2.7．求证：2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．【证明】∵1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜＋＋＋…＋＝2[1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝2，又∵1＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝2[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝2－2，故2(－1)＜1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)．B．能力提升8．证明：对任意的n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜恒成立．(提示：构造函数f(x)＝，利用最值1进行放缩)【证明】设函数f(x)＝，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在(0，]上单调递增；当x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在[＋∞)上单调递减；所以f(x)≤f()＝，故≤.当n≥2时，有＋＋＋…＋＝0＋·＋·＋…＋·≤＜＝＝＜.综上可知对任意的n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜成立．2
