专题16圆锥曲线的综合问题1．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D．1答案C解析如图，2．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为________．答案解析由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝，yD＝4.直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)，∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，∴＝＝.3．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F1(－2,0)，所以a2－b2＝4.①因为点B(2，)在椭圆C上，所以＋＝1.②由①②解得，a＝2，b＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)方法一因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(－2，0)．因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于两点E，F，设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0)．假设在x轴上存在点P(t,0)，使得∠MPN为直角，则MP·NP＝0.即t2＋×＝0，即t2－4＝0，解得t＝2或t＝－2.故存在点P(2,0)或P(－2,0)，无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．方法二因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为(－2，0)．因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于两点E，F，设点E(x0，y0)，则点F(－x0，－y0)．所以直线AE的方程为y＝(x＋2)．因为直线AE与y轴交于点M，令x＝0得y＝，即点M.同理可得点N.假设在x轴上存在点P(t,0)，使得∠MPN为直角，则MP·NP＝0.故存在点P(2,0)或P(－2,0)，无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．4．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．解(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：＋＝1(y≠0)．(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|＝.当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)．5.已知椭圆C1：＋＝1(a>0)与抛物线C2：y2＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合．(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使得＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为C1，C2的焦点重合，所以＝，所以a2＝4.又a>0，所以a＝2.于是椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝4x.(2)假设存在直线l使得＝2，则可设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x4＝，x1x4＝1，所以|PN|＝·＝.由可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x2＋x3＝，x2x3＝，易错起源1、范围、最值问题例1、如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ|＝λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．解(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2，即c＝，从而b＝＝1.故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，得|QF1|＝＝|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，...
