1．1.3三个正数的算术—几何平均不等式1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．1．三个正数的算术—几何平均不等式．(1)如果a1，a2，a3∈R＋，则叫做这3个正数的算术平均数，叫做这三个正数的________．答案:几何平均数(2)三个正数基本不等式：≥.当且仅当a1＝a2＝a3时，等号成立．语言表述：三个正数的________平均数不小于它们的________平均数．答案:算术几何思考1若已知a1＝3，a2＝9，a3＝27，则＝________，＝________．则有：________.答案:139>2．n个正数的算术—几何平均不等式．(1)如果a1，a2，…，an∈R＋，n＞1且n∈N*，则叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的________．答案:几何平均数(2)基本不等式：≥(n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立．语言表述：n个正数的________平均数不小于它们的________平均数．答案:算术几何思考2若x＞0，则＋＋＋______4.答案:≥1．函数y＝x2(1－5x)的最大值是()A．4B.C.D.答案:C2．若x>0，则4x＋的最小值是()1A．9B．3C．13D．不存在答案:B3．已知a.b.c∈R＋，则≥________．答案:94．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值是________．答案:45．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案:C6．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：把a2＋＋变形为ab＋＋a(a－b)＋，即可利用三个正数的算术—几何平均不等式求其最小值． a＞b＞0，∴a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝ab＋＋a(a＋b)＋≥2＋2＝4，当且仅当即a＝，b－时，取“＝”号．故选D.7．若数列{an}的通项公式是an＝，则该数列中的最大项是()A．第4项B．第6项C．第7项D．第8项解析：an＝＝＝ n2＋＋≥3＝48，当且仅当n2＝，即n＝4时，等号成立，∴an≤，该数列的最大项是第4项．故选A.答案：A8．求函数y＝3x＋(x>0)的最值是________．解析： x>0，∴y＝3x＋＝＋＋≥3＝3.当且仅当＝＝，即x＝时取符号．∴当x＝时，函数y的最小值为3.9．已知正数a，b满足ab2＝1，则a＋b的最小值是________．解析：因为a，b是正数，ab2＝1，所以a＋b＝a＋＋≥3＝.故a＋b的最小值是，当且仅当即时取到最小值．10．已知a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.2证明： a，b，c为正数，∴a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3×3＝9.∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．11．θ为锐角，则y＝sinθ·cos2θ的最大值是________________________________________________________________________．分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2θ＋cos2θ＝1的应用．解析： y2＝sin2θcos2θcos2θ＝×2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)≤()3＝.当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sinθ＝时取等号．∴ymax＝.12．已知x∈R＋，有不等式x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…，受此启发，可以推广为x＋≥n＋1，则a＝________．解析： x＋＝＋…＋,\s\do4(n个))＋≥(n＋1)×＝n＋1，∴a＝nn.答案：nn13．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，所以≥9(abc)－.②故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．14．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？3分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．解析：设OO1为xm，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，帐篷的体积为V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(4－x)(x＋2)(x＋2)＝(8－2x)(x＋2)(...
