专题01极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数,其中为正实数．(1)若函数在处的切线斜率为，求的值；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有两个极值点，求证：．【答案】(1)(2)单调减区间为,,单调减区间为．(3)见解析【解析】(1)因为，所以，则,所以的值为．(2)，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．因为要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．则在上递减,上递增,所以的最小值为．因为,当时,,则,所以恒成立．所以,所以，得证．2、已知。(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),,∴,令,时,,,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,∴且,解得:,∴,为的两个极值点,即,,且,,得:,令,,②时,,∴,,在递减,,∴时,,不合题意,综上,.3、已知函数．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【答案】（1）当时，的极大值为；当时，的极小值为；（2）见解析；（3）或或．【解析】（1）当时，，则则的关系如下：增减增所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为．（2）∵，∴①当时，，且仅当时，所以在R是增函数②当时，有两个根当时，得或，所以的单独增区间为：；当时，得，所以的单独减区间为：．（3）由题设知，，是的两个根，∴，且所以同理，所以，直线的解析式为设直线与轴的交点为则，解得代入得因为在轴上，所以解得，或或．4、已知。(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.(2),,∴,令,时,,,无极值点,时,令得:或,由的定义域可知,且,∴且,解得:,∴,为的两个极值点,即,,且,,得:,令,,②时,,∴,,在递减,,∴时,,不合题意,综上,.【专题练习】1、设函数，.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，且，求证：.【答案】（1）；（2）函数在，单调递增，在单调递减．（3）当函数有两个极值点时，，，故此时，且，即，所以，设，其中，则，由于时，，故在是增函数，故，所以.②当，即时，的两个根为，，当，即时，，当时，．故当时，函数在单调递减，在单调递增；当时，函数在，单调递增，在单调递减．（3）当函数有两个极值点时，，，故此时，且，即，所以，设，其中，则，由于时，，故在是增函数，故，所以.2、已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，，所以.因此曲线在点处的切线方程为.（2）由题意得，故的两个不等的实数为.由韦达定理得，解得.故，设.则，所以在上单调递减，所以.因此的取值范围为.
