高中数学竞赛讲义-立体图形、空间向量 新人教A版VIP免费

§19立体图形，空间向量一.直线,平面之间的平行与垂直的证明方法1．运用定义证明(有时要用反证法);2．运用平行关系证明;3．运用垂直关系证明;4．建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.例如,在证明:直线a直线b时.可以这样考虑(1)运用定义证明直线a与b所成的角为090;(2)运用三垂线定理或其逆定理;(3)运用“若a平面,b,则ab”;(4)运用“若//bc且ac,则ab”;(5)建立空间直角坐标系,证明0ab.二.空间中的角和距离的计算1．求异面直线所成的角(1)(平移法)过P作'//aa,'//bb,则'a与'b的夹角就是a与b的夹角;(2)证明ab(或//ab),则a与b的夹角为090(或00);(3)求a与b所成的角([0,]),再化为异面直线a与b所成的角((0,]2).2,求直线与平面所成的角(1)(定义法)若直线a在平面内的射影是直线b,则a与b的夹角就是a与的夹角;(2)证明a(或//a),则a与的夹角为090(或00);(3)求a与的法向量n所成的角,则a与所成的角为090或090.3．求二面角(1)(直接计算)在二面角AB的半平面内任取一点PAB,过P作AB的垂线,交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则CDAB,故PCD为所求的二面角.(2)(面积射影定理)设二面角AB的大小为(090),平面内一个平面图形F的面积为1S,F在内的射影图形的面积为2S,则21cosSS.(当为钝角时取“”).(3)(异面直线上两点的距离公式):22222cosEFdmnmn,其中是二面角AB的平面角,EA在半平面内且EAAB于点A,BF在半平面内且FBAB于B,而ABd,EAm,FBn.(4)(三面角的余弦定理),三面角SABC中,BSC,CSA,ASB,又二面角BSAC,则coscoscoscossinsin.用心爱心专心1(5)(法向量法)平面的法向量1n�与平面的法向量2n�所成的角为,则所求的二面角为(同类)或(异类).4.求两点A,B间距离(1)构造三角形进行计算;(2),导面直线上两点间的距离公式;(3),求AB�.5.求点到直线的距离(1)构造三角形进行计算;(2)转化为求两平行红色之间的距离.6.求点到平面的距离(1)直接计算从点到平面所引垂线段的长度;(2)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(3)(体积法)转化为求一个棱锥的高3VhS,其中V为棱锥体积,S为底面面积,h为底面上的高.(4)在平面上取一点A,求AP�与平面的法向量n的夹角的余弦cos,则点P到平面的距离为cosdAP�.7.求异面直线的距离(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长;(2)(体积法)转化为求几何体的高;(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;(5)(射影法)如果两异面直线,ab在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线l,则a与b的距离等于P到l的距离;(6)(公式法)22222cosdEFmnmn.8.求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.三.多面体与旋转体1.柱体(棱柱和圆柱)(1)侧面积Scl侧(c为直截面周长,l为侧棱或母线长)(2)体积VSh(S为底面积,h为高)2.锥体(棱锥与圆锥)(1)正棱锥的侧面积'12Sch侧(c为底面周长,'h为斜高)(2)圆锥的侧面积:Srl侧(r为底面周长,l为母线长)(3)锥体的体积:13VSh(S为底面面积,h为高).3.锥体的平行于底面的截面性质:23111123,ShVhShVh.4.球的表面积:24SR;球的体积:343VR.四.解题思想与方法导引1.空间想象能力;2.数形结合能力;3.平几与立几间的相互转化;4.向量法例题讲解1．正四面体的内切球和外接球的半径之比为()A,1:2B,1:3C,1:4D,1:9用心爱心专心2ABCD2．由曲线24xy,24xy,4x,4x围成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为1V;满足2216xy,22(2)4xy,22(2)4xy的点(,)xy组成的图形绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为2V,则()A,1212VVB,1223VVC,12VVD,122VV3．如右图,底面半径1r,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心率为22的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB,则截面以下部分的几何体体积是()A,32B,2C,D,2(1)24．在四面体ABCD中,设1AB,3CD,直线AB与CD的距离为2,...