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(江苏专用)高考数学总复习 必做题专题1 空间向量与立体几何试题(含解析)理-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题1空间向量与立体几何【三年高考】1.【2017江苏高考,22】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=3,120BAD.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】(1)17;(2)74.【解析】试题分析:(1)先根据条件建立空间直角坐标系,进而得相关点的坐标,求出直线A1B与AC1的方向向量,根据向量数量积求出方向向量夹角,最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值;(2)根据建立的空间直角坐标系,得相关点的坐标,求出各半平面的法向量,根据向量数量积求出法向量的夹角,最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值.试题解析:在平面ABCD内,过点A作AEAD,交BC于点E.因为AA1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如图,以1{,,}AEADAA�为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2,AA1=3,120BAD.则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)ABDEAC.1(1)11(3,1,3),(3,1,3)ABAC�,则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos,77||||ABACABACABAC���.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.设二面角B-A1D-A的大小为,则3|cos|4.因为[0,],所以27sin1cos4.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角2【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”:①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;③破“求法向量关”,求出平面的法向量;④破“应用公式关”.2.【2015江苏高考,22】如图,在四棱锥PABCD中,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,2ABCBAD,2,1PAADABBC(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长【解析】以,D,�为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz,则各点的坐标为1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,0,0,2.(1)因为D平面,所以D�是平面的一个法向量,D0,2,0�.因为C1,1,2�,D0,2,2�.设平面CD的法向量为,,mxyz,则C0m�,D0m�,即20220xyzyz.令1y,解得1z,1x.所以1,1,1m是平面CD的一个法向量.从而D3cosD,3Dmmm���,所以平面与平面CD所成二面角的3PABCDQ余弦值为33.(2)因为1,0,2�,设Q,0,2�(01),又C0,1,0�,则CQCQ,1,2�,又D0,2,2�,从而2CQD12cosCQ,DCQD102���.设12t,1,3t,则2222229cosCQ,D5109101520999tttt�.当且仅当95t,即25时,cosCQ,D�的最大值为31010.因为cosyx在0,2上是减函数,此时直线CQ与D所成角取得最小值.又因为22125,所以225Q55.3.【2017课标1,理18】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90BAPCDP.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,90APD,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】4试题解析:(1)由已知90BAPCDP,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.由(1)及已知可得2(,0,0)2A,2(0,0,)2P,2(,1,0)2B,2(,1,0)2C.所以22(,1,)22PC�,(2,0,0)CB�,22(,0,)22PA�,(0,1,0)AB�.设(,,)xyzn是平面PCB的法向量,则500PCCB��nn,即2202220xyzx,可取(0,1,2)n.设(,,)xyzm是平面PAB的法向量,则00PAAB��mm,即220220xzy,可取(1,0,1)m.则3cos,||||3<>nmnmnm,所以二面角APBC的余弦值为33.【考点】面面垂直的证明,二面角平面...

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