平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.【教材改编】1．(必修4P100练习T1改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底()A．e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)B．e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)C．e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)D．e1＝(3，0)，e2＝(4，0)答案]B解析]对于A.e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B.2．(必修4P97例4改编)向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为()A．(－3，4)B．(3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)答案]A解析]由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，∴b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A.3．(必修4P98例6改编)已知a＝(4，2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为()A．－3B．3C．－12D．12答案]A解析]法一： a∥b，∴4m－2×(－6)＝0，∴m＝－3，故选A.法二： a∥b，∴a＝λb，即(4，2)＝λ(－6，m)，∴解得λ＝－，m＝－3，故选A.4．(必修4P97例5改编)已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－1,3)，(3,4)，(2,2)，则点D的坐标为()A．(6，－2)B．(－6,2)C．(2，－1)D．(－2,1)答案]D解析]设D点的坐标为(x，y)， 四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，即(3,4)－(－1,3)＝(2,2)－(x，y)，即为(4,1)＝(2－x,2－y)，∴∴∴D点的坐标为(－2,1)．故选D.5．(必修4P98例7改编)已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为()A．1B．2C．3D．4答案]A解析]AB＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，AC＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， A，B，C三点共线，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，∴m＝1.故选A.6．(必修4P101练习T7改编)设OA＝(2,3)，OB＝(6，－3)，若A、B、C在一条直线上，且OC＝OA＋λOB，则C的坐标是()A.B.C.D.答案]C解析]法一： A、B、C三点共线，且OC＝OA＋λOB，∴＋λ＝1，∴λ＝，∴OC＝×(2,3)＋(6，－3)＝.故选C.法二：设C的坐标为(x，y)， OA＝(2,3)，OB＝(6，－3)，∴AB＝OB－OA＝(4，－6)．AC＝OC－OA＝(x－2，y－3)． A，B，C在一条直线上，∴AB与AC共线，即4(y－3)＋6(x－2)＝0，即3x＋2y＝12.①又OC＝OA＋λOB，∴(x，y)＝(2,3)＋λ(6，－3)＝，即x＝＋6λ，y＝1－3λ，②由①②解得x＝，y＝－1，λ＝，∴C的坐标为.故选C.7．(必修4P101A组T6改编)已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若AB与CD共线，则t＝________．答案]解析]AB＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，CD＝(－7，t)－(1，4)＝(－8，t－4)． AB与CD共线，∴4(t－4)－4×(－8)＝0.即4t＋16＝0，∴t＝－4.8．(必修4P102B组T3改编)设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．答案]解析]假设λ1≠0时，由λ1e1＋λ2e2＝0，得e1＝－e2，∴e1与e2共线与e1，e2为基底矛盾，故λ1＝0，同理λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0.9．(必修4P100练习T2改编)若a＝(3,2)，－2a＋4b＝(－6,0)，则a－2b＝________.答案]解析]由题意得4b＝(－6,0)＋2×(3,2)＝(－6,0)＋(6,4)＝(0,4)，∴b＝(0,4)＝(0,1)．∴a－2b＝(3,2)－2×(0,1)＝(3,2)－(0,2)＝(3,0)．10．(必修4P102B组T4改编)如图，设Ox...
