课时作业52圆锥曲线的综合问题1．(2019·河北石家庄一模)倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为(B)A.B.C.D.解析：由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得∴(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又AF＝2FB，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，∴－y1＝2y2，可得∴＝，∴e＝，故选B.2．(2019·河北七校联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为(D)A．[2,3]B．[3,4]C．[4,5]D．[5,6]解析：由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D.3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(A)A.B.C．3D．2解析：解法一：设椭圆方程为＋＝1(a1＞b1＞0)，离心率为e1，双曲线的方程为－＝1(a2＞0，b2＞0)，离心率为e2，它们的焦距为2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，则易知解得在△F1PF2中，由余弦定理得(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)·(a1－a2)cos60°＝4c2，整理得a＋3a＝4c2，所以＋＝4，即＋＝4.设a＝，b＝，∴＋＝a·b≤|a|·|b|＝×＝×＝，故＋的最大值是，故选A.解法二：不妨设P在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则＋＝＝＝.∴2＝＝＝，易知2－＋1的最小值为.故max＝.故选A.4．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2－x1的最小值为(A)A．2B．2C．4D．3解析： 直线l与圆相切，∴原点到直线的距离d＝＝1，∴m2＝1＋k2.由得(1－k2)x2－2mkx－(m2＋1)＝0，∴∴k2＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝，∴x2－x1＝＝＝， 0≤k2＜1，∴当k2＝0时，x2－x1取最小值2，故选A.5．(2019·河南郑州一模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为(A)A．23B．42C．12D．52解析：由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以16＝2p×2，得p＝4，所以y2＝8x.圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，整理得(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C2(2,0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2,4)，Q(2，－4)，所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.当直线l的斜率存在且不为零时，可设l的方程为y＝k(x－2)，联立可得k2(x－2)2＝8x，整理得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＞0，则x1x2＝4，故x2＝，所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋＋4x2＋4×＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23.因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23.故选A.6．(2018·浙江卷)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．解析：本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值．设B(t，u)，由AP＝2PB，易得A(－2t,3－2u)． 点A，B都在椭圆上，∴从而有＋3u2－12u＋9＝0，即＋u2＝4u－3.即有4u－3＝m⇒u＝，∴＋＝m，∴t2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4.∴当m＝5时，(t2)max＝4，即|t|max＝2，即当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．7．(2019·合肥模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OP·FP的最小值为6....
