§2排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、逆序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'解析:由排序不等式可知,逆序和≤乱序和≤顺序和.答案:C2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案:B5.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排列,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和12+22+32+42=30,最小值为逆序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.答案:[20,30]6.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的矩形的面积之和为S1,空白部分的矩形的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.1解析:由题图可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,S1≥S2.答案:S1≥S27.若a,b,c均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abc.证明不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式可得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).又因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc.8.设a,b均为正数,求证:.证明不妨设a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式的性质得>0.则由排序不等式可得,即.9.设a,b,c都是正数,求证:a+b+c≤.证明由题意不妨设a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序不等式,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序不等式,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.因为a,b,c均为正数,所以abc>0,所以两边同除以abc即得a+b+c≤.B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()2A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定解析:不妨设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.答案:A2.若0<α<β<γ<,F=sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-(sin2α+sin2β+sin2γ),则有()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<0解析:因为0<α<β<γ<,所以00.答案:A3.导学号35664038车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4min,8min,6min,10min,5min,每台机床停产1min损失5元,经合理安排损失最少为.解析:设从第1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,由排序不等式可知,当t10,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.证明(1)当x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤xn,所以由排序不等式,得1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)xn.①又因为x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,所以1·x+x·x2+…+xn-1xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,因此x+x3+…++xn≥(n+1)xn,②4①+②得1+x+x2+…+≥(2n+1)xn.③(2)当0x>x2>…>xn,①②仍成立,故③也成立.综合(1)(2)可知,原不等式成立.5
