章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是()A.B．(－1，－3，2)C.D.【解析】a＝(1，－3，2)＝－2.【答案】C2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝A1C1，AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则()A．x＝1，y＝B．x＝1，y＝C．x＝，y＝1D．x＝1，y＝【解析】AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋AC＝AA1＋(AB＋AD)，∴x＝1，y＝.应选D.【答案】D3．已知A(2，－4，－1)，B(－1，5，1)，C(3，－4，1)，D(0，0，0)，令a＝CA，b＝CB，则a＋b为()A．(5，－9，2)B．(－5，9，－2)C．(5，9，－2)D．(5，－9，－2)【解析】a＝CA＝(－1，0，－2)，b＝CB＝(－4，9，0)，∴a＋b＝(－5，9，－2)．【答案】B4．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若AC1＝aAB＋2bAD＋3cA1A，则abc的值等于()【导学号：18490123】A.B.C.D．－【解析】 AC1＝AB＋AD－AA1＝aAB＋2bAD＋3cA1A，∴a＝1，b＝，c＝－.∴abc＝－.【答案】D5．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A.AB＝－C1D1B.AB·BC＝0C.AA1·B1D1＝0D.AC1·A1C＝0【解析】如图，AB∥C1D1，AB⊥BC，AA1⊥B1D1，故A，B，C选项均正确．【答案】D6．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若l⊥α，则l垂直于α内的所有直线，从而有c·a＝0，c·b＝0.反之，由于a，b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】B7．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()A．2B．3C．4D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD＝(－1，－2，2)，∴|AD|＝＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝()A．3B．－3C．－11D．3或－11【解析】因为a·b＝(x，4，5)·(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为，所以＝，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】A9.如图1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()图1A.B.C.D.【解析】以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，∴BC1＝(－2，0，1)，AC＝(－2，2，0)，且AC为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈BC1，AC〉＝＝＝.∴sin〈BC1，AC〉＝|cos〈BC1，AC〉|＝，∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.【答案】D10．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则DC＝(0，1，0)，DB＝(1，1，0)，DC1＝(0，1，2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.【答案】A11．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF＝AD＋mAB－nAA1，则m，n的值分别为()A.，－B．－，－C．－，D.，【解析】由于AF＝AD＋DF＝AD＋(DC＋DD1)＝AD＋AB＋AA1，所以m＝，n＝－，故选A.【答案】A12．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角ABDP的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB＝，BD＝(－3，4，0)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则得即令x＝1，则n＝.又n1＝为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n1，n〉＝＝.∴所求二面角为30°.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.【导学号：18490124】【解析】由题意得＝＝，∴x＝...
