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高考数学二轮复习 限时训练23 解析几何 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 限时训练23 解析几何 理-人教版高三全册数学试题_第1页
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【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练23解析几何理(建议用时45分钟)1.(2015·高考浙江卷)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解:(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切Δ=0,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|·d=.2.(2016·广东惠州调研)已知椭圆C过点M,点F(-,0)是椭圆的左焦点,点P,Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:线段PQ的垂直平分线经过一定点A.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由已知,得解得∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由椭圆C的标准方程为+=1,可知|PF|===2+x1,同理|QF|=2+x2,|MF|==2+.∵2|MF|=|PF|+|QF|,∴2=4+(x1+x2),∴x1+x2=2.①当x1≠x2时,由得x-x+2(y-y)=0,∴=-·.设线段PQ的中点为N(1,n),由kPQ==-,得线段PQ的垂直平分线方程为y-n=2n(x-1),即(2x-1)n-y=0,该直线恒过一定点A.②当x1=x2时,P,Q或P,Q.线段PQ的垂直平分线是x轴,也过点A.综上,线段PQ的垂直平分线过定点A.3.如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,),四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对角线AC,BD过原点O,kAC·kBD=-.(1)求OA·OB的取值范围;(2)求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)得∴+=1.当直线AB的斜率存在时,设lAB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,∴x1+x2=,x1x2=.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2·+km·+m2=.∵kOA·kOB=-⇒·=-,∴=-·⇒m2=4k2+2.OA·OB=x1x2+y1y2=+==2-,∴-2≤OA·OB<2,当k=0时,OA·OB=-2,当k不存在,即AB⊥x轴时,OA·OB=2,∴OA·OB的取值范围是[-2,2].(2)由题意知S四边形ABCD=4S△AOB.∵S△AOB=···=2=2,∴S△四边形ABCD=8.4.已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过点N?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.(1)证法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2中,得2x2-kx-2=0,∴x1+x2=.∵xN=xM==,∴N点的坐标为.∵(2x2)′=4x,∴(2x2)′|x==k,即抛物线在点N处的切线的斜率为k.∵直线l:y=kx+2的斜率为k,∴切线平行于AB.证法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2中得2x2-kx-2=0,∴x1+x2=.∵xN=xM==,∴N点的坐标为.设抛物线在点N处的切线l1的方程为y-=m,将y=2x2代入上式得2x2-mx+-=0,∵直线l1与抛物线C相切,∴Δ=m2-8=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,∴m=k,即l1∥AB.(2)解:假设存在实数k,使以AB为直径的圆M经过点N.∵M是AB的中点,∴|MN|=|AB|.由(1)知yM=(y1+y2)=(kx1+2+kx2+2)=[k(x1+x2)+4]==+2,∵MN⊥x轴,∴|MN|=|yM-yN|=+2-=.∵|AB|=×=×=×.∴=×,∴k=±2,∴存在实数k=±2,使以AB为直径的圆M经过点N.

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