高二数学不等式的概念、性质、证明人教版知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学不等式的概念、性质、证明人教版【本讲教育信息】一.教学内容：1.主要内容：不等式的概念、性质、证明2.知识点：（1）不等式的性质：1oabba若，那么（对称性）2oabbcac若，（传递性）3oabacbc（可加性）推论：1ambabm推论：2abcdacbd推论：3abcdacbd40oabcacbc（可乘性）abcacbc0推论：100abcdacbd推论：（，且）21ababnNnnn501onnababnNn若（，且）（2）均值不等式：1222oabRababab若，则（当且仅当“”时取等号）,22oabababab若是正数，（当且仅当时取等号）,333oabcabcabcabc若为正数，则（当且仅当时取等号）,,（3）不等式的证明：1o比较法：（1）作差：abab0abab0步骤：①作差；②变形（因式分解、配方）；③定号作商：若，，则ababab0012o综合法（由因导果）3o分析法（执果索因）【典型例题】例1.已知a>b，b>0，求证：a+b+4<(a+2)(b+2)。证法一：(a+b+4)—(a+2)(b+2)=a+b+4—ab—2a—2b—4=—ab—a—b=—(ab+a+b)<0abab422()()证法二： a>0，b>0用心爱心专心abab40220，()()又ababababba4222222121212121()()()()()()abab4221()()abab422()()小结：本题根据结构特点分析，适合用比较法证明。比较法常用的有作差比较法与作商比较法两种，作商法比较同号两式大小时，商是与1而不是与0比较大小。例2.证明：（）aaaaa1233分析：已知条件很简单（仅有a≥3），而要证明的无理不等式较复杂，遵循化繁为简原则，容易想到用分析法求证。证法一：要证：aaaa123只要证：aaaa321只要证：()()aaaa32122即证：aaaa()()()312即证：aaaa()()()312即证：显然成立02aaaaa1233（）证法二：要证：aaaa123即证：11123aaaaaaaa1230上式成立aaaaa1233（）小结：分析法是寻求结论成立的充分条件，而不是从结论出发推证已知条件，故证明过程中一定要注意格式，“要证”“只要证”等词必不可少。在解决有关根式的问题时，“分子有理化”也是常用的技巧。例3.已知，求证：aaaaa2111log()log()分析：由易得，，但与aaaaaaaaa2111111log()log()log()log()1的大小关系仍不能确定，注意到两者的算术平均数便于与1比较大小，联想到均值不等式。证法一：log()log()aaaa11log()log()log()log()aaaaaaaa111122221111212222log()log()[log()log()]log()aaaaaaaaaa用心爱心专心logaa222422log()log()aaaa111证法二：a2log()log()aaaa1010又log()log()aaaa11log()log()log()log()log()logaaaaaaaaaaaa1111212112122log()log()aaaa111小结：在证明过程中，对loga(a2－1)的值作适当的放大，这样根据不等式的传递性可以证明结论，放缩法是证明不等式的一种重要方法。例4.已知且，求证：与中至少有一个小于。abRababba,2112分析：可以用反证法。证明：设与均不小于112abba即：1212abba1212abba22abab()ab2与已知条件矛盾112abba与中至少有一个小于例5.求证：||||||||||||abababab11分析：含绝对值不等式的证明，除不等式的基本性质、定理外，应关注有关绝对值不等式的性质和定理。证法一：abababababab11111111证法二：由性质：，abmRab,,则abambmabababababababababab111()()用心爱心专心证法三：fxxxx()[)11110在，上是增函数又0ababfabfab()()即abababab11小结：本题证法多种多样...